Exercice 5.23
Ecole Polytechnique MP 2006 Ã
Soit p un nombre premier, a 0 , a 1 , . . . , a p−1 des éléments de Z/ pZ.
On pose M =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a 0
a 1 . . . a p−1
a p−1 a 0 . . . a p−2
. . .
. . .
. . .
. . .
a 1 . . . a p−1 a 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
. Donner une condition nécessaire et
suffisante pour que M soit inversible et calculer det(M).
Notons K le corps Z/ pZ. On sait que x
p = x pour tout x ∈ K .
Considérons la matrice J =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
1 0 . . .
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈ M p (K ).
En considérant J comme la matrice, dans la base canonique (e 1 , e 2 , . . . , e p ) de l’espace vectoriel K
p , de l’endomorphisme f défini par
f (e 1 ) = e p , f (e 2 ) = e 1 , . . . , f (e p ) = e p−1 ,
on calcule facilement les puissances successives de J . On voit notamment que
J
p = I p et que M = a 0 I p + a 1 J + · · · + a p−1 J
p−1 .
Soit K [J ] le sous-espace vectoriel de L(K ) engendré par (I p , J , . . . , J
p−1 ). C’est
une sous-algèbre commutative de l’algèbre L(K ) et la formule de binôme montre
que l’application M → M
p est un endomorphisme de l’algèbre K [J ].
(C’est une conséquence du fait que, lorsque p est un nombre premier, le coefficient
binomial
p
k
est congru à 0 modulo p pour 1 k p − 1 cf. exercice 1.3 page 2).
Il en résulte que
M
p = (a 0 I p + a 1 J + · · · + a p−1 J
p−1 )
p = a
p
0 I
p
p + a
p
1 J
p + . . . a
p
p−1 J
p( p−1)
= (a 0 + a 1 + · · · + a p−1 )I p
On en déduit que det(M
p ) = (a 0 + a 1 + · · · + a p−1 )
p = a 0 + a 1 + · · · + a p−1 . Ainsi M
est inversible si et seulement si a 0 + a 1 + · · · + a p−1 = 0.
Enfin det(M) = det(M)
p = det(M
p ) = a 0 + a 1 + · · · + a p−1 .
Exercice 5.24
Polytechnique MP 2006
Montrer que deux matrices de M n (R) semblables dans M n (C) le sont dans
M n (R).
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