Chap. 5. Déterminants
On a :
det(M) =
0
a 1 + a 2 . . . a 1 + a n
a 2 + a 1
0
. . . a 2 + a n
. . .
. . .
. . .
a n + a 1 a n + a 2 . . .
0
.
En utilisant la relation a 1 + a 2 + · · · + a n = 0, on remarque que la somme des lignes
de M est égale à
(n − 2)a 1 (n − 2)a 2 . . . (n − 2)a n
. L’opération élémentaire
[L 1 ← L 1 + L 2 + · · · + L n ] donne donc :
det(M) = (n − 2)
a 1
a 2
. . .
a n
a 2 + a 1
0
. . . a 2 + a n
. . .
. . .
. . .
a n + a 1 a n + a 2 . . .
0
.
Retranchons alors la première ligne à chacune des suivantes on obtient
det(M) = (n − 2)
a 1 a 2
a 3 . . . a n
a 2 −a 2 a 2 . . . a 2
a 3 a 3 −a 3 . . . a 3
. . .
. . .
. . .
. . .
a n a n
a n . . . −a n
.
On retranche ensuite la première colonne à chacune des suivantes :
det(M) = (n − 2)
a 1 a 2 − a 1 a 3 − a 1 . . . a n − a 1
a 2 −2a 2
0
. . .
0
a 3
0
−2a 3 . . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
a n
0
0
. . . −2a n
.
On effectue pour finir l’opération élémentaire
[C 1 ← C 1 +
1
2
C 2 +
1
2
C 3 + · · · +
1
2
C n ]
pour obtenir
det(M) = (n − 2)
A a 2 − a 1 a 3 − a 1 . . . a n − a 1
0 −2a 2
0
. . .
0
0
0
−2a 3 . . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
0
. . . −2a n
.
Avec A = a 1 +
1
2
(a 2 − a 1 ) + (a 3 − a 1 ) + · · · + (a n − a 1 )
= −
1
2
(n − 2)a 1 .
On en déduit det(M) = (−2)
n−2 (n − 2)
2 a 1 . . . a n .