théorème des valeurs intermédiaires on peut affirmer qu’il y est de signe constant.
On a donc P(x) > 0 pour tout x ∈ R + et en particulier P(0) = det(A) > 0.
Exercice 5.21
Mines-Ponts MP 2006
Calculer D =
a 1 + x
x
. . .
x
x
a 2 + x
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
x
. . .
x a n + x
où a 1 , . . . , a n sont des réels.
Nous utilisons ici la propriété de linéarité du déterminant par rapport aux colonnes.
Pour tout j ∈ [[1, n]] on peut écrire la j−ième colonne sous la forme
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x
. . .
x + a j
. . .
x
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= X + A j , avec X =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x
. . .
x
. . .
x
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
et A j =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
. . .
a j
. . .
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Le réel D apparaît alors comme la somme de 2
n déterminants, mais au plus n + 1
de ces déterminants sont non nuls (tous les déterminants comportant deux fois la
colonne X sont nuls). On obtient donc D = det(diag(a 1 , . . . , a n )) +
n
j=1
D j , avec
D j =
a 1 0 . . . x . . . 0
0 a 2
x . . . 0
. . .
. . .
. . .
. . .
0 0
x
0
. . .
. . .
. . .
0 0 . . . x . . . a n
= x
n
i=1
i = j
a i .
Finalement D = x
⎛
⎜
⎝
n
j=1
n
i=1
i = j
a i
⎞
⎟
⎠ +
n
i=1
a i .
Exercice 5.22
TPE MP 2006
Soient n > 2 un entier et (a 1 , . . . , a n ) ∈ R
n tels que a 1 +a 2 +· · ·+a n = 0. Calculer
le déterminant de M = (m i j ) 1i, jn où m i j = a i + a j si i = j et m ii = 0.
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