Chap. 5. Déterminants
5.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 5.20
Matrice à diagonale dominante
(D’après Mines-Ponts MP 2005, Polytechnique MP 2006) Ã
1) Soit A = (a i j ) 1i, jn ∈ M n (C) telle que
∀i ∈ [[1, n]], |a ii | >
n
j=1
j =i
|a i j |
(1)
Montrer que A est inversible.
Indication de la rédaction : En supposant A non inversible, on pourra introduire un vecteur non nul X ∈ M n,1 (C) tel que AX = 0.
2) Soit A = (a i j ) 1i, jn ∈ M n (R) telle que
∀(i , j) ∈ [[1, n]]
2 , a i j 0 et ∀i ∈ [[1, n]], a ii >
n
j=1
j =i
a i j .
Montrer que det(A) > 0.
Indication de la rédaction : on pourra considérer P(x) = det(A + x I n ).
1) Soit A une matrice non inversible vérifiant les hypothèses (1). Il existe alors un
vecteur X =
⎛
⎜
⎝
x 1
. . .
x n
⎞
⎟
⎠ ∈ M n,1 non nul tel que AX = 0. On a donc
n
j=1
a i j x j = 0
( E i )
pour tout i ∈ [[1, n]]. Soit k ∈ [[1, n]] tel que |x k | |x j | pour tout j ∈ [[1, n]].
Comme X est non nul, on a x k = 0 et
x j
x k
1 pour tout j ∈ [[1, n]].
La relation (E k ) permet alors d’écrire
|a k | =
n
j=1
j =k
x j
x k
a j
n
j=1
j =k
x j
x k
|a j |
n
j=1
j =k
|a j |
ce qui est en contradiction avec les hypothèses (1).
2) Soit x un réel. La matrice A + x I n est à diagonale dominante pour tout x ∈ R + .
On a donc det( A + x I n ) = 0 pour tout x ∈ R + .
D’autre part P(x) = det(A + x I n ) est un polynôme unitaire de degré n, à coefficients réels. Il en résulte que P(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞. La
question précédente montre que P ne s’annule pas sur l’intervalle R + . Grâce au