1) La matrice nulle appartient à S.
2) Soit A ∈ S. En écrivant la relation de l’énoncé avec B = A, on obtient
det(2A) = 2
n det(A) = 2 det(A) et donc det( A) = 0 puisque n 2.
Supposons A non nulle et désignons par A 1 , . . . , A n les colonnes de A. (Ce sont
des éléments de l’espace vectoriel E = M n,1 (C)). La matrice A possède au moins
une colonne non nulle A i 0 et à l’aide du théorème de la base incomplète, on peut
trouver une base ( A
1 . . . , A
n ) de E, avec A
i 0 = A i 0 .
On peut alors écrire
A
1 . . . A
n
=
A 1 . . . A n
+
A
1 − A 1 . . . A
n − A n
d’où, par hypothèse,
det
A
1 . . . A
n
= det
A 1 . . . A n
+ det
A
1 − A 1 . . . A
n − A n
Le déterminant de la matrice
A
1 − A 1 . . . A
n − A n
est nul puisque sa i 0 -
ième colonne est égale à 0. On obtient donc det
A
1 . . . A
n
= 0, ce qui est
absurde.
Exercice 5.19
Mines-Ponts MP 2007
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Montrer que tout hyperplan de M n (C)
contient au moins une matrice inversible.
Soit H un hyperplan de M n (C) et soit (E i j , (i , j) ∈ {1, . . . , n}
2 ) la base canonique
de M n (C). Si H contient toutes les matrices E i j avec i = j, alors H contient la
matrice A = E 1,n +
n
i=2
E i,i−1 =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 0 . . . 0 1
1 0 . . . . . . 0
0 1 0 . . . 0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0 0 . . . 1 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
En développant le déterminant de A par rapport à sa première ligne, on obtient
det(A) = (−1)
n+1 et donc A est inversible.
Supposons maintenant qu’il existe un couple (i, j), avec i = j, tel que E i j /
∈ H .
On a alors H + Vect(E i j ) = M n (C) et en particulier il existe a ∈ C et M ∈ H tels
que I n = M + a E i j . On en déduit que M = I n − a E i j et cette matrice est inversible
puisque c’est une matrice triangulaire dont les éléments diagonaux sont tous égaux
à 1.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit