Chap. 5. Déterminants
Notons C 1 , . . . , C n les colonnes de K n et remplaçons la dernière colonne par
l 1 C 1 + · · · + l n C n . On obtient
l n K n =
1
a 1 + b 1
1
a 1 + b 2
. . . R(a 1 )
1
a 2 + b 1
1
a 2 + b 2
. . . R(a 2 )
. . .
. . .
. . .
1
a n + b 1
1
a n + b 2
. . . R(a n )
=
1
a 1 + b 1
1
a 1 + b 2
. . .
0
1
a 2 + b 1
1
a 2 + b 2
. . .
0
. . .
. . .
. . .
1
a n + b 1
1
a n + b 2
. . . R(a n )
= R(a n )K n−1 .
On a donc K n =
(b n − b 1 ) . . . (b n − b n−1 )
(b n + a 1 ) . . . (b n + a n−1 )
(a n − a 1 ) . . . (a n − a n−1 )
(a n + b 1 ) . . . (a n + b n )
K n−1 ,
et comme K 1 =
1
a 1 + b 1
on en déduit aisément que
K n =
1i< jn
(b j − b i ).
1i< jn
(a j − a i )
1i, jn
(a i + b j )
.
Exercice 5.18
TPE MP 2006, Mines-Ponts MP 2006 Ã
Soit n un entier, avec n 2. On se propose de déterminer l’ensemble S des
matrices A de M n (C) telles que
∀B ∈ M n (C), det(A + B) = det(A) + det(B).
1) Donner un exemple de matrice appartenant à S.
2) Soit A une matrice appartenant à S.
• Montrer que det(A) = 0.
• A l’aide d’un raisonnement par l’absurde, montrer que A est nulle, en complétant une colonne non nulle de A par le théorème de la base incomplète.