On considère l’application f définie par : ∀(x 1 , . . . , x n ) ∈ E
n ,
f (x 1 , . . . , x n ) =
n
k=1
det B (x 1 , . . . , x k−1 , u(x k ), x k+1 , . . . , x n )
1) On suppose qu’il existe i = j tel que x i = x j . Montrer que f (x 1 , . . . , x n ) = 0.
2) Montrer que f (x 1 , . . . , x n ) = tr(u). det B (x 1 , . . . , x n ).
1) Supposons qu’il existe (i , j) ∈ [[1, n]]
2 tel que i < j et x i = x j . Pour tout entier
k ∈ [[1, n]] distinct de i et de j, on a det B (x 1 , . . . , x k−1 , u(x k ), x k+1 , . . . , x n ) = 0,
puisque la famille (x 1 , . . . , x k−1 , u(x k ), x k+1 , . . . , x n ) comporte deux fois le même
vecteur.
Il reste donc
f (x 1 , . . . , x n ) = det B (x 1 , . . . , x i−1 , u(x i ), x i+1 , . . . , x n )
+ det B (x 1 , . . . , x j−1 , u(x j ), x j+1 , . . . , x n ) .
Le second déterminant est obtenu à partir du premier par échange des vecteurs
situés à la i -ième et la j-ième places. Leur somme est donc égale à 0 et on a bien
f (x 1 , . . . , x n ) = 0.
2) L’application f est la somme de n formes n-linéaires. C’est donc une forme nlinéaire et nous avons démontré dans la question précédente qu’elle est alternée.
On sait d’après le cours qu’il existe une constante l telle que
∀(x 1 , . . . , x n ) ∈ E
n , f (x 1 , . . . , x n ) = l. det B (x 1 , . . . , x n ).
En particulier pour (x 1 , . . . , x n ) = (e 1 , . . . , e n ) on obtient
f (e 1 , . . . , e n ) = l. det B (e 1 , . . . , e n ) = l.
Soit A = (a i j ) la matrice de u dans la base B. On a alors
f (e 1 , . . . , e n ) =
n
k=1
det B (e 1 , . . . , e k−1 , u(e k ), e k+1 , . . . , e n )
et
det E (e 1 , . . . , e k−1 , u(e k ), e k+1 , . . . , e n ) =
1 0 . . . a 1k . . . 0
0 1
. . . a 2k . . . 0
. . .
. . .
. . .
. . .
0 . . . . . . a kk
. . . 0
. . .
. . .
. . .
. . .
0 . . . . . . a nk . . . 1
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
n ,
f (x 1 , . . . , x n ) =
n
k=1
det B (x 1 , . . . , x k−1 , u(x k ), x k+1 , . . . , x n )
1) On suppose qu’il existe i = j tel que x i = x j . Montrer que f (x 1 , . . . , x n ) = 0.
2) Montrer que f (x 1 , . . . , x n ) = tr(u). det B (x 1 , . . . , x n ).
1) Supposons qu’il existe (i , j) ∈ [[1, n]]
2 tel que i < j et x i = x j . Pour tout entier
k ∈ [[1, n]] distinct de i et de j, on a det B (x 1 , . . . , x k−1 , u(x k ), x k+1 , . . . , x n ) = 0,
puisque la famille (x 1 , . . . , x k−1 , u(x k ), x k+1 , . . . , x n ) comporte deux fois le même
vecteur.
Il reste donc
f (x 1 , . . . , x n ) = det B (x 1 , . . . , x i−1 , u(x i ), x i+1 , . . . , x n )
+ det B (x 1 , . . . , x j−1 , u(x j ), x j+1 , . . . , x n ) .
Le second déterminant est obtenu à partir du premier par échange des vecteurs
situés à la i -ième et la j-ième places. Leur somme est donc égale à 0 et on a bien
f (x 1 , . . . , x n ) = 0.
2) L’application f est la somme de n formes n-linéaires. C’est donc une forme nlinéaire et nous avons démontré dans la question précédente qu’elle est alternée.
On sait d’après le cours qu’il existe une constante l telle que
∀(x 1 , . . . , x n ) ∈ E
n , f (x 1 , . . . , x n ) = l. det B (x 1 , . . . , x n ).
En particulier pour (x 1 , . . . , x n ) = (e 1 , . . . , e n ) on obtient
f (e 1 , . . . , e n ) = l. det B (e 1 , . . . , e n ) = l.
Soit A = (a i j ) la matrice de u dans la base B. On a alors
f (e 1 , . . . , e n ) =
n
k=1
det B (e 1 , . . . , e k−1 , u(e k ), e k+1 , . . . , e n )
et
det E (e 1 , . . . , e k−1 , u(e k ), e k+1 , . . . , e n ) =
1 0 . . . a 1k . . . 0
0 1
. . . a 2k . . . 0
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0 . . . . . . a kk
. . . 0
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0 . . . . . . a nk . . . 1
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit