Exercice 5.13
Mines-Ponts MP, PSI 2007
Soient A, B ∈ M n (Z) telles que A + k B ∈ GL n (Z) pour tout k ∈ {0, . . . , 2n}.
Calculer det A et det B.
Nous utilisons ici un résultat établi dans l’exercice 5.8 : une matrice M ∈ M n (Z) est
inversible dans l’anneau M n (Z) si et seulement si det(M) = ±1.
Soit P le polynôme défini par : ∀x ∈ R, P(x) = det(A + x B). La formule de Leibniz
montre que son degré est inférieur ou égal à n. Pour tout k ∈ {0, . . . , 2n}, on a
P(k) = ±1. Comme l’ensemble E = {0, . . . , 2n} contient 2n + 1 éléments, il existe
une partie F de E contenant strictement plus de n éléments telle que la restriction
de P à F soit une constante ´, égale à +1 ou −1. Le polynôme P − ´ est alors de
degré inférieur ou égal à n et possède strictement plus de n racines. C’est donc le
polynôme nul. En particulier, pour x = 0, on obtient P(0) = det A = ´.
Pour x = 0, posons y =
1
x
. La relation det( A+x B) = ´ montre que det(y A+B) = ´y
n
pour tout y ∈ R
∗ . Le polynôme det(y A + B) − ´y
n est donc le polynôme nul et on a
donc en particulier pour y = 0, det(B) = 0.
Exercice 5.14
Polytechnique MP 2007
Soient A, H ∈ M n (R), avec rg H = 1.
Montrer que det( A + H ) det(A − H ) det(A)
2 .
Soit h l’endomorphisme de l’espace vectoriel R
n canoniquement associé à H . Le
théorème du rang montre que noyau K de h est de dimension n − 1. Soit (e 2 , . . . , e n )
une base de K que nous complétons en une base B = (e 1 , e 2 , . . . , e n ) de R
n et soient
P la matrice de passage de la base canonique de R
n à la base B et H
= P
−1 H P la
matrice de h dans la base B. Les n − 1 dernières colonnes de H
sont nulles.
Posons A
= P
−1 AP et, pour tout l ∈ R, g(l) = det(A + lH ) = det(A
+ lH
).
En développant le déterminant g(l) par rapport à sa première colonne, on voit que
c’est un polynôme de degré inférieur ou égal à 1 de la variable l. Il existe donc deux
constantes réelles a et b telles que : ∀l ∈ R, g(l) = a + bl.
Mais alors det(A + H ) det(A − H ) = g(1)g(−1) = a
2
− b
2
a
2 = g(0)
2 = det(A)
2 .
Exercice 5.15
Centrale MP 2005 Ã
Soient E un espace vectoriel de dimension n 2, B une base de E et soit
u ∈ L(E).
Mines-Ponts MP, PSI 2007
Soient A, B ∈ M n (Z) telles que A + k B ∈ GL n (Z) pour tout k ∈ {0, . . . , 2n}.
Calculer det A et det B.
Nous utilisons ici un résultat établi dans l’exercice 5.8 : une matrice M ∈ M n (Z) est
inversible dans l’anneau M n (Z) si et seulement si det(M) = ±1.
Soit P le polynôme défini par : ∀x ∈ R, P(x) = det(A + x B). La formule de Leibniz
montre que son degré est inférieur ou égal à n. Pour tout k ∈ {0, . . . , 2n}, on a
P(k) = ±1. Comme l’ensemble E = {0, . . . , 2n} contient 2n + 1 éléments, il existe
une partie F de E contenant strictement plus de n éléments telle que la restriction
de P à F soit une constante ´, égale à +1 ou −1. Le polynôme P − ´ est alors de
degré inférieur ou égal à n et possède strictement plus de n racines. C’est donc le
polynôme nul. En particulier, pour x = 0, on obtient P(0) = det A = ´.
Pour x = 0, posons y =
1
x
. La relation det( A+x B) = ´ montre que det(y A+B) = ´y
n
pour tout y ∈ R
∗ . Le polynôme det(y A + B) − ´y
n est donc le polynôme nul et on a
donc en particulier pour y = 0, det(B) = 0.
Exercice 5.14
Polytechnique MP 2007
Soient A, H ∈ M n (R), avec rg H = 1.
Montrer que det( A + H ) det(A − H ) det(A)
2 .
Soit h l’endomorphisme de l’espace vectoriel R
n canoniquement associé à H . Le
théorème du rang montre que noyau K de h est de dimension n − 1. Soit (e 2 , . . . , e n )
une base de K que nous complétons en une base B = (e 1 , e 2 , . . . , e n ) de R
n et soient
P la matrice de passage de la base canonique de R
n à la base B et H
= P
−1 H P la
matrice de h dans la base B. Les n − 1 dernières colonnes de H
sont nulles.
Posons A
= P
−1 AP et, pour tout l ∈ R, g(l) = det(A + lH ) = det(A
+ lH
).
En développant le déterminant g(l) par rapport à sa première colonne, on voit que
c’est un polynôme de degré inférieur ou égal à 1 de la variable l. Il existe donc deux
constantes réelles a et b telles que : ∀l ∈ R, g(l) = a + bl.
Mais alors det(A + H ) det(A − H ) = g(1)g(−1) = a
2
− b
2
a
2 = g(0)
2 = det(A)
2 .
Exercice 5.15
Centrale MP 2005 Ã
Soient E un espace vectoriel de dimension n 2, B une base de E et soit
u ∈ L(E).