Avec n = 2, prenons par exemple les matrices A =
√
2
0
0 1/
√
2
et B =
0 1
−1 0
.
On a alors A
2 =
2 0
0 1/2
et B
2 = −I 2 , d’où A
2 + B
2 =
1
0
0 −1/2
et
det(A
2 + B
2 ) = −1/2.
Exercice 5.12
TPE MP 2006
Soit (a 1 , . . . , a n ) ∈ R
n . Calculer le déterminant de M = (m i j ) 1i, jn où
m i j = a i a j si i = j et m ii = 1 + a
2
i .
Si tous les a i sont nuls, alors M = I n et det(M) = 1. Dans la suite, nous supposons
(a 1 , . . . , a n ) = (0, . . . , 0). On peut alors écrire M = A + I n , avec
A = (a i a j ) =
⎛
⎜
⎝
a 1
. . .
a n
⎞
⎟
⎠ .
a 1 . . . a n
.
Désignons par f l’endomorphisme de l’espace vectoriel E = M n,1 (R) canoniquement associé à A. Pour X =
⎛
⎜
⎝
x 1
. . .
x n
⎞
⎟
⎠ ∈ E, on a
f (X ) =
⎛
⎜
⎝
a 1
. . .
a n
⎞
⎟
⎠ .
a 1 . . . a n
⎛
⎜
⎝
x 1
. . .
x n
⎞
⎟
⎠ =
n
k=1
a k x k
⎛
⎜
⎝
a 1
. . .
a n
⎞
⎟
⎠ .
Il en résulte que le noyau de f est l’hyperplan H d’équation
n
k=1
a k x k = 0. Soit
(e 1 , . . . , e n−1 ) une base de H .
On a de plus, avec a =
⎛
⎜
⎝
a 1
. . .
a n
⎞
⎟
⎠, f (a) =
n
k=1
a
2
k
a = 0 E . Il en résulte que a /
∈ H ,
de sorte que B = (e 1 , . . . , e n−1 , a) est une base de E. La matrice de f dans cette
base est alors la matrice diagonale diag(0, . . . , 0,
n
k=1
a
2
k ) .
L’endomorphisme canoniquement associé à M est alors f + Id E et sa matrice dans
la base B est diag(1, . . . , 1, 1 +
n
k=1
a
2
k ). On a donc
det(M) = det( f + Id E ) = 1 +
n
k=1
a
2
k .
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