Chap. 5. Déterminants
Soient C 1 , . . . , C n les colonnes de la matrice A. Pour tout j > 1 on a C j −C j−1 =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
j
. . .
j
0
. . .
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(les j − 1 premiers coefficients sont égaux à j et les suivants sont égaux à 0). La
suite d’opérations élémentaires C n ←− C n − C n−1 , . . . , C 2 ←− C 2 − C 1 transforme
donc A en la matrice B =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
2 3 . . . n − 1 n
3
0 3 . . . n − 1 n
6
0 0
. . . n − 1 n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
1 + · · · + (n − 1) 0 0 . . .
0
n
1 + · · · + n
0 0 . . .
0
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
En développant le déterminant de B par rapport à sa dernière ligne on obtient
det(A) = det(B) = (−1)
n+1 n!
n(n + 1)
2
.
Exercice 5.11
Centrale MP 2007
Soient A, B ∈ M n (R).
1) On pose M =
A B
−B 0
. Montrer que det(M) 0.
2) On suppose que AB = B A. Montrer que det( A
2 + B
2 ) 0. Qu’en est-il si A
et B ne commutent pas ?
1) Pour tout j compris entre 1 et n, échangeons la colonne d’indice j et la
colonne d’indice n + j dans la matrice M. Chaque échange multiplie le déterminant par −1 et on obtient donc det(M) = (−1)
n
B A
0 −B
. Il en résulte que
det(M) = (−1)
n det(B) det(−B) = det(B)
2
0.
2) Soit C ∈ M n (C) et soit C la matrice dont les coefficients sont les conjugués des
coefficients de C. La formule de Leibniz montre que det(C) = det(C). En appliquant
ce résultat à la matrice C = A + i B, on obtient
det(A
2 + B
2 ) = det((A + i B)(A − i B))
= det(A + i B) det(A − i B)
= det(A + i B)det( A + i B)
= |det(A + i B)|
2 0.