Exercice 5.8
D’après Centrale MP 2006
Soit n ∈ N
∗ et M ∈ M n (Z). Montrer que M est inversible dans M n (Z) si et
seulement si det(M) = ±1.
Soit M ∈ M n (Z) une matrice inversible dont l’inverse appartient à M n (Z). On a
alors det(M) det(M
−1 ) = det(M M
−1 ) = det(I n ) = 1 et donc det(M) est un entier
dont l’inverse appartient à Z. Il en résulte que det(M) = ±1.
Réciproquement supposons le déterminant de M ∈ M n (Z) égal à ±1.
L’expression de la matrice inverse à l’aide de la comatrice (cf. exercice 5.7) :
M
−1 =
1
det(M)
t Com(M), montre que l’inverse de M appartient à M n (Z).
Exercice 5.9
TPE PSI 2006
Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et x un nombre réel. Calculer, lorsque k
est un entier tel que 0 k < n − 1,
D(x) =
(x + 1)
k
2
k
3
k
. . .
n
k
(x + 2)
k
3
k
4
k
. . . (n + 1)
k
. . .
. . .
. . .
. . .
(x + n)
k (n + 1)
k (n + 2)
k . . . (2n − 1)
k
En développant D(x) par rapport à sa première colonne, on observe qu’il s’agit d’un
polynôme (de la variable x), dont le degré est strictement inférieur à n − 1. On a
par ailleurs D(1) = D(2) = · · · = D(n − 1) = 0 puisqu’il s’agit à chaque fois du
déterminant d’une matrice qui a deux colonnes identiques. Il en résulte que D est le
polynôme nul.
5.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
Exercice 5.10
Centrale MP 2005
On considère la matrice carrée d’ordre n,
A = (a i j ), avec a i j = 1 + 2 + · · · + max(i, j).
Calculer det( A).
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