Chap. 5. Déterminants
1) Désignons par c i, j le cofacteur de a i, j . Rappelons que c i, j = (−1)
i+ j D i, j , où D i, j
est le mineur relatif au coefficient a i, j , c’est-à-dire le déterminant de la matrice
carrée d’ordre n − 1 obtenue en supprimant la ligne d’indice i et la colonne d’indice j.
On sait que
n
k=1
a i,k c i,k = det(A) (développement du déterminant par rapport à sa
i-ième ligne).
Soit alors j un indice différent de i et soit A j la matrice obtenue en remplaçant
la i -ième ligne de A par la j-ème ligne. Comme A j a deux lignes égales, on a
det(A j ) = 0. En développant le déterminant de A j par rapport à sa i-ième ligne,
on obtient
n
k=1
a j,k c i,k = det(A j ) = 0.
On a donc
n
k=1
a j,k c i,k =
det A si j = i,
0
si j = i.
Il en résulte que A
t Com( A) = det(A)I n .
On obtient de la même manière la relation
t Com( A)A = det(A)I n , en développant
le déterminant par rapport aux colonnes de A.
2) Désignons par C la comatrice de A.
• Si rg (A) = n, alors
t C =
1
det(A)
A
−1 est inversible et donc
rg (C) = rg (
t C) = n.
• Si rg ( A) < n − 1, alors toute matrice U obtenue en supprimant une colonne de
A est de rang < n − 1 et toute matrice V obtenue en supprimant une ligne de
U , est, elle aussi, de rang < n − 1. Ainsi tous les mineurs de la matrice A sont
nuls. On a donc C = 0 et son rang est égal à 0.
• Si rg ( A) = n − 1, alors on peut extraire du système des vecteurs-colonnes de
A un sous-système libre formé de n − 1 vecteurs. En d’autres termes, il existe
une matrice U , obtenue en supprimant une colonne de A, dont le rang est égal
à n − 1. Comme n − 1 est aussi le rang du système des vecteurs-lignes de U ,
il existe une matrice V , obtenue en supprimant une ligne à U , dont le rang est
égal à n − 1. Le déterminant de V est non nul et donc la matrice C possède au
moins un coefficient non nul ; on a donc rg (C) 1.
Par ailleurs la relation A
t C = 0 montre que l’image de
t C est incluse dans le
noyau de A. On a donc rg (
t C) 1 et donc rg (C) = rg (
t C) = 1.
Récapitulons :
• Si rg (A) = n, alors rg (C) = n.
• Si rg (A) = n − 1, alors rg (C) = 1.
• Si rg (A) < n − 1, alors rg (C) = 0.
1) Désignons par c i, j le cofacteur de a i, j . Rappelons que c i, j = (−1)
i+ j D i, j , où D i, j
est le mineur relatif au coefficient a i, j , c’est-à-dire le déterminant de la matrice
carrée d’ordre n − 1 obtenue en supprimant la ligne d’indice i et la colonne d’indice j.
On sait que
n
k=1
a i,k c i,k = det(A) (développement du déterminant par rapport à sa
i-ième ligne).
Soit alors j un indice différent de i et soit A j la matrice obtenue en remplaçant
la i -ième ligne de A par la j-ème ligne. Comme A j a deux lignes égales, on a
det(A j ) = 0. En développant le déterminant de A j par rapport à sa i-ième ligne,
on obtient
n
k=1
a j,k c i,k = det(A j ) = 0.
On a donc
n
k=1
a j,k c i,k =
det A si j = i,
0
si j = i.
Il en résulte que A
t Com( A) = det(A)I n .
On obtient de la même manière la relation
t Com( A)A = det(A)I n , en développant
le déterminant par rapport aux colonnes de A.
2) Désignons par C la comatrice de A.
• Si rg (A) = n, alors
t C =
1
det(A)
A
−1 est inversible et donc
rg (C) = rg (
t C) = n.
• Si rg ( A) < n − 1, alors toute matrice U obtenue en supprimant une colonne de
A est de rang < n − 1 et toute matrice V obtenue en supprimant une ligne de
U , est, elle aussi, de rang < n − 1. Ainsi tous les mineurs de la matrice A sont
nuls. On a donc C = 0 et son rang est égal à 0.
• Si rg ( A) = n − 1, alors on peut extraire du système des vecteurs-colonnes de
A un sous-système libre formé de n − 1 vecteurs. En d’autres termes, il existe
une matrice U , obtenue en supprimant une colonne de A, dont le rang est égal
à n − 1. Comme n − 1 est aussi le rang du système des vecteurs-lignes de U ,
il existe une matrice V , obtenue en supprimant une ligne à U , dont le rang est
égal à n − 1. Le déterminant de V est non nul et donc la matrice C possède au
moins un coefficient non nul ; on a donc rg (C) 1.
Par ailleurs la relation A
t C = 0 montre que l’image de
t C est incluse dans le
noyau de A. On a donc rg (
t C) 1 et donc rg (C) = rg (
t C) = 1.
Récapitulons :
• Si rg (A) = n, alors rg (C) = n.
• Si rg (A) = n − 1, alors rg (C) = 1.
• Si rg (A) < n − 1, alors rg (C) = 0.