Remarque
On peut retrouver ce dernier résultat en observant que, pour a fixé dans C, l’application b → D(a, b) est une fonction polynomiale (cela résulte encore de la formule
de Leibniz). Elle est donc continue et on a : D(a, a) = lim
b→a
b =a
D(a, b) .
Exercice 5.6
D’après Centrale MP 2005
On munit l’espace vectoriel E = M n (C) de sa base canonique
B = (E 11 , E 21 , . . . , E n1 , E 12 , . . . , E n2 , . . . , E 1n . . . , E nn ) .
Soit A ∈ M n (K). Calculer la trace et le déterminant de l’endomorphisme f de
l’espace vectoriel E défini par : ∀M ∈ E, f (M) = AM.
Rappelons que E i j est la matrice carrée d’ordre n dont tous les coefficients sont nuls,
excepté le coefficient situé à l’intersection de la ligne d’indice i et de la colonne
d’indice j qui est égal à 1.
Si A = (a i j ), alors les coefficients a i j sont les coordonnées de A dans la base B. On
a donc A =
n
i=1
n
j=1
a i j E i j et, pour k, , ∈ {1, . . . , n},
AE k =
n
i=1
n
j=1
a i j E i j E k =
n
i=1
a ik E i .
La matrice de l’endomorphisme f : M → AM dans la base B est un matrice
carrée d’ordre n
2 . Elle se présente sous la forme d’une matrice diagonale par
blocs
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
A 0 n . . . 0 n
0 n A
0 n
. . .
. . .
0 n
A
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
où 0 n désigne la matrice nulle dans M n (K). On a donc
tr( f ) = n tr(A) et det( f ) =
det(A)
n .
Exercice 5.7
(Comatrice) Centrale MP 2006
On désigne par Com(A) la comatrice de A ∈ M n (K).
1) Expliquer brièvement pourquoi
t Com( A)A = A
t Com( A) = det(A)I n .
2) Etudier le rang de la comatrice de A en fonction du rang de A.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit