d’ordre n
D(a, b) =
0 b . . . b
a 0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . b
a . . . a 0
.
1) Soit c l’application de C dans C définie par ∀x ∈ C, c(x) = D(a + x, b + x).
Montrer que c est une fonction polynomiale. Que peut-on dire de son degré ?
2) En déduire D(a, b).
1) La formule de Leibniz montre que l’application
x → c(x) = D(a + x, b + x) =
x
b+ x . . . b + x
a + x
x
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . b + x
a + x . . . a + x
x
est une fonction polynomiale.
En retranchant la première ligne de D(a + x, b + x) à chacune des suivantes, puis
en développant par rapport à la première ligne, on voit que c une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à 1. Il existe donc deux constantes complexes
a et b telles que ∀x ∈ C, c(x) = ax + b.
2) Supposons d’abord a = b. Pour x = −b, c(−b) = D(a − b, 0) est le déterminant
d’une matrice triangulaire et on a donc c(−b) = (−b)
n . On obtient de même,
pour x = −a, c(−a) = (−a)
n .
On a donc
−ab + b = (−b)
n
−aa + b = (−a)
n
.
On en déduit que D(a, b) = c(0) = b =
a(−b)
n
− b(−a)
n
a − b
.
Supposons maintenant a = b.
En effectuant l’opération élémentaire C 1 ← C 1 + C 2 + · · · + C n , on obtient
D(a, a) =
(n − 1)a a . . . a
(n − 1)a 0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . a
(n − 1)a . . . a 0
= (n − 1)a
1 a . . . a
1 0
. . .
. . .
. . . a
. . . a
1 . . . a 0
puis, en retranchant la première ligne à chacune des suivantes :
D(a, a) = (n − 1)a
1 a . . . a
0 −a
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
0 . . . 0 −a
= (n − 1)(−1)
n−1 a
n .