Les opérations élémentaires L 3 ← L 3 + L 1 puis L 4 ← L 4 + L 2 donnent alors
det(M) =
A − B
B
0
A + B
= det(A − B) det(A + B)
Finalement :
det(M) =
(a + c)
2
− (b − d)
2
(c − a)
2
− (b + d)
2
= −(a + b + c − d)(a − b + c + d)(−a + b + c + d)(a + b − c + d).
Exercice 5.3
Mines-Ponts PSI 2006
Soient p, q ∈ N
∗ , A ∈ M pq (K) et B ∈ M qp (K). Montrer que
det(I q − B A) = det(I p − AB)
Indication de la rédaction : on pourra effectuer les produits par blocs.
I p − AB A
0
I q
·
I p 0
B I q
et
I p 0
B I q
·
I p
A
0 I q − B A
.
I p − AB A
0
I q
·
I p 0
B I q
=
I p 0
B I q
·
I p
A
0 I q − B A
=
I p A
B I q
.
On en déduit que det(I p − AB)·det(I q ) = det(I p )·det(I q − AB) et donc
det(I p − AB) = det(I q − AB).
Exercice 5.4
CCP PSI 2004
Soient p, q ∈ N
∗ , avec p > q, A ∈ M pq (K) et B ∈ M qp (K). Montrer que
det(AB) = 0.
Soit f l’application linéaire de K
q dans K
p canoniquement associée à la matrice A
et g l’application linéaire de K
p dans K
q canoniquement associée à la matrice B. On
sait que le rang de f ◦ g est inférieur ou égal au rang de f et au rang de g et donc
rg ( f ◦ g) q. Comme rg ( AB) = rg ( f ◦ g), AB est une matrice carrée dont le rang
est strictement inférieur à son ordre p. On a donc det(AB) = 0.
Exercice 5.5
CCP MP 2006
Soient a, b ∈ C et n un entier supérieur ou égal à 2. On considère le déterminant
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