• La formule de Leibniz : soit A = (a i j ) une matrice carrée d’ordre n. On a alors
det(A) =
s∈S n
´(s)a 1s(1) . . . a ns(n) .
où S n désigne le groupe des permutations de l’ensemble {1, . . . , n} et ´(s) la
signature de la permutation s (cf. exercice 5.5).
Déterminant d’un système de vecteurs, d’un endomorphisme
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n 1 et soit B une base de E.
• Le déterminant d’un système de n vecteurs S = (x 1 , . . . , x n ) dans la base B
est égal au déterminant de la matrice P du système dans la base B. On le note
det B (x 1 , . . . , x n ).
Pour que S soit une base de E, il faut et il suffit que ce déterminant soit non nul.
L’application (x 1 , . . . , x n ) → det B (x 1 , . . . , x n ) est une forme n-linéaire alternée
sur l’espace vectoriel E. Pour toute forme n-linéaire alternée w définie sur E, il
existe un scalaire l tel que
∀(x 1 , . . . , x n ) ∈ E
n , w(x 1 , . . . , x n ) = l det B (x 1 , . . . , x n ) (cf. exercice 5.15)
• Lorsque f est un endomorphisme de E, le déterminant de f est égal au déterminant de la matrice de f dans la base B. Ce déterminant ne dépend pas du choix
de la base B (cf. exercice 5.6).
Exercice 5.2
CCP PSI 2005
Soient a, b, c, d quatre nombres complexes. Calculer le déterminant de la matrice
M =
⎛
⎜
⎜
⎝
−a
b
c
d
b −a
d
c
c
d −a
b
d
c
b −a
⎞
⎟
⎟
⎠
Indication de la rédaction : on pourra décomposer M en blocs : M =
A B
B A
où A =
−a
b
b −a
et B =
c d
d c
puis, à l’aide d’opérations élémentaires
sur les lignes et les colonnes de M, se ramener au calcul du déterminant d’une
matrice triangulaire par blocs.
À l’aide des opérations élémentaires C 1 ← C 1 −C 3 puis C 2 ← C 2 −C 4 , on obtient :
det(M) =
A B
B A
=
A − B B
B − A A
.