◦ Si on multiple l’une des colonnes de A par un scalaire l, alors le déterminant
de A est multiplié par l :
det(C 1 , . . . , C i−1 , lC i , C i+1 , . . . , C n ) = l det(C 1 , . . . , C n ).
◦ Si A a deux colonnes identiques, alors det( A) = 0. Si on échange deux colonnes
de A, alors son déterminant est changé en son opposé.
◦ Si A ∈ M n (K), alors det(
t A) = det(A). Il en résulte que les règles de calculs
concernant les colonnes de A s’appliquent aussi aux lignes.
• Déterminant d’une matrice triangulaire : soit M =
A B
0 C
une matrice triangulaire par blocs, où A et C sont des matrices carrées d’ordre respectif p et q. On
a alors det(M) = det(A) det(C). (cf. exercices 5.2 et 5.3).
Il en résulte que le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit de
ses éléments diagonaux. (cf. exercice 5.5).
Propriétés des déterminants
• Si A, B ∈ M n (K), alors det(AB) = det(A) det(B) (cf. exercice 5.3).
• Soit A ∈ M n (K). Alors det( A) = 0 si et seulement si le rang de A est strictement inférieur à n. Lorsque A est inversible, det( A) est non nul et dans ce cas
det(A
−1 ) =
1
det(A)
(cf. exercice 5.7).
• Développement d’un déterminant selon une ligne ou une colonne (cf. exercice 5.7) :
− Soit A = (a i j ) une matrice carrée d’ordre n. On note D i j le mineur relatif au
coefficient a i j , c’est-à-dire le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la
ligne d’indice i et la colonne d’indice j. Alors
det(A) =
n
j=1
(−1)
i+ j a i j D i j pour tout indice de ligne i et
det(A) =
n
i=1
(−1)
i+ j a i j D i j pour tout indice de colonne j .
◦ Le coefficient (−1)
i+ j D i j est appelé le cofacteur du coefficient a i j .
◦ La matrice Com( A) =
(−1)
i+ j D i j
1i, jn
est appelée la comatrice de A.
◦ La matrice
t Com( A) vérifie la relation A
t Com( A) =
t Com( A)A = det(A)I n . Il
en résulte que si A est inversible, alors A
−1 =
1
det(A)
t Com( A).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
de A est multiplié par l :
det(C 1 , . . . , C i−1 , lC i , C i+1 , . . . , C n ) = l det(C 1 , . . . , C n ).
◦ Si A a deux colonnes identiques, alors det( A) = 0. Si on échange deux colonnes
de A, alors son déterminant est changé en son opposé.
◦ Si A ∈ M n (K), alors det(
t A) = det(A). Il en résulte que les règles de calculs
concernant les colonnes de A s’appliquent aussi aux lignes.
• Déterminant d’une matrice triangulaire : soit M =
A B
0 C
une matrice triangulaire par blocs, où A et C sont des matrices carrées d’ordre respectif p et q. On
a alors det(M) = det(A) det(C). (cf. exercices 5.2 et 5.3).
Il en résulte que le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit de
ses éléments diagonaux. (cf. exercice 5.5).
Propriétés des déterminants
• Si A, B ∈ M n (K), alors det(AB) = det(A) det(B) (cf. exercice 5.3).
• Soit A ∈ M n (K). Alors det( A) = 0 si et seulement si le rang de A est strictement inférieur à n. Lorsque A est inversible, det( A) est non nul et dans ce cas
det(A
−1 ) =
1
det(A)
(cf. exercice 5.7).
• Développement d’un déterminant selon une ligne ou une colonne (cf. exercice 5.7) :
− Soit A = (a i j ) une matrice carrée d’ordre n. On note D i j le mineur relatif au
coefficient a i j , c’est-à-dire le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la
ligne d’indice i et la colonne d’indice j. Alors
det(A) =
n
j=1
(−1)
i+ j a i j D i j pour tout indice de ligne i et
det(A) =
n
i=1
(−1)
i+ j a i j D i j pour tout indice de colonne j .
◦ Le coefficient (−1)
i+ j D i j est appelé le cofacteur du coefficient a i j .
◦ La matrice Com( A) =
(−1)
i+ j D i j
1i, jn
est appelée la comatrice de A.
◦ La matrice
t Com( A) vérifie la relation A
t Com( A) =
t Com( A)A = det(A)I n . Il
en résulte que si A est inversible, alors A
−1 =
1
det(A)
t Com( A).
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