5 Déterminants
5.1 RAPPELS DE COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
5.1.1 Un calcul de déterminant d’ordre 3
Dans ce chapitre nous approfondissons l’étude des déterminants commencée en première année. Nous vous proposons de tester vos connaissances sur un exercice très
simple :
Exercice 5.1
Calculer le déterminant D =
144 121 100
36 33 30
96 99 90
.
Vous pouvez tenter votre chance avec la règle de Sarrus, mais l’utilisation des opérations élémentaires conduit à des calculs beaucoup plus simples !
On a en effet D =
12
2
11
2
10
2
3 × 12 3 × 11 3 × 10
8 × 12 9 × 11 9 × 10
= 12 × 11 × 10 × 3
12 11 10
1 1 1
8 9 9
car le déterminant est linéaire par rapport à chacune de ses colonnes et par rapport
à chacune de ses lignes. En retranchant la première colonne aux deux suivantes, on
obtient D = 12 × 11 × 10 × 3
12 −1 −2
1
0
0
8
1
1
. En développant alors par rapport à la
deuxième ligne on obtient
D = −12 × 11 × 10 × 3
−1 −2
1
1
= −12 × 11 × 10 × 3 × 1 = −3960.
5.1.2 Déterminants d’ordre n ∈ N
∗
Ce qu’il faut savoir
Méthodes de calcul
• Utilisation des opérations élémentaires (cf. exercices 5.2, 5.5,. . .) :
Soit A ∈ M n (K) une matrice carrée d’ordre n.
◦ On ne modifie pas le déterminant de A en ajoutant à une colonne de A une
combinaison linéaire des autres colonnes.