penser à celle qui lie la trace d’un projecteur à son rang. Il est donc relativement
naturel de se demander si la matrice B =
1
q
q
k=1
A
k n’est pas celle d’un projecteur.
Par ailleurs la somme
q
k=1
A
k et la relation A
q = I n font penser à la formule rappelée
en début de chapitre qui montre que (A − I n )
q
k=1
A
k = A
q+1
− A = 0.
(1) .
On peut alors démontrer par récurrence que, pour tout i ∈ N
∗ , on a A
i
q
k=1
A
k =
q
k=1
A
k .
Cette relation va nous permettre de démontrer que B est la matrice d’un projecteur :
B
2 =
1
q 2
q
k=1
A
k
2
=
1
q 2
q
i=1
A
i
q
k=1
A
k
=
1
q 2 q
q
k=1
A
k = B .
On en déduit que tr B = dim Im B. La formule (1) montre que Im B ⊂ Ker( A − I n ).
De plus si x est dans Ker( A − I n ), alors Ax = x et par conséquent :
Bx =
1
q
q
k=1
A
k x =
1
q
q
k=1
x = x.
Ceci montre que x vérifie la relation caractéristique d’appartenance à l’image du
projecteur B. On en déduit que Im B = Ker( A − I n ), puis que tr B = dim Ker B, ce
qui s’écrit :
dim Ker( A − I n ) =
1
q
q
k=1
tr(A
k ).