Chap. 4. Matrices
Notons u k l’endomorphisme de K
n de matrice A k dans la base canonique de E = K
n .
Raisonnons par récurrence sur n ∈ N
∗ la dimension de l’espace. Pour n = 1 la
proposition est immédiate (l’endomorphisme u 1 est nul).
Soit n 2. Supposons la proposition vraie pour tout k ∈ [[1, n − 1]] et montrons-la
pour n.
Si u n = 0 la proposition est immédiate.
Sinon, l’endomorphisme u n étant nilpotent n’est pas inversible, son noyau Ker u n est
donc non nul et différent de K
n , et, comme les u k commutent avec u n , on en déduit
que Ker u n est stable par les u k pour tout k ∈ [[0, n − 1]]. Soit (e 1 , . . . , e p ) une base
de Ker u n . On la complète pour avoir une base B = (e 1 , . . . , e n ) de E.
Dans la base B, l’endomorphisme u k a pour matrice B k =
C k D k
0 E k
, où C k et E k
sont des matrices carrées d’ordre p et n − p respectivement, avec de plus C n = 0.
On remarque que p et n − p appartiennent à [[1, n − 1]].
Pour k ∈ [[1, n−1]], les u k commutant deux à deux, nous remarquons, avec la règle du
produit par blocs, que les E k et C k commutent deux à deux, et, les u k étant nilpotents,
que les E k et C k sont nilpotentes. On peut donc appliquer l’hypothèse de récurrence
aux C k et aux E k (il y en a au plus n − 1) : E 1 · · · E n−1 = 0 et C 1 · · · C n−1 = 0. On
en déduit avec la règle du produit par blocs : B 1 · · · B n−1 =
0 D
0 0
, d’où l’on tire,
avec B n =
0 D n
0 E n
, la relation
B 1 · · · B n = B n B 1 · · · B n−1 =
0 D n
0 E n
0 D
0 0
= 0 .
On a donc u 1 ◦ · · · ◦ u n = 0 et enfin A 1 · · · A n = 0.
Exercice 4.41
Mines-Ponts MP 2007 Ã
Soit A dans M n (R) telle que A
q = I n , avec q dans N
∗ . Montrer que :
dim Ker(A − I n ) =
1
q
q
k=1
tr(A
k ).
Remarquons que l’énoncé ne distingue pas la matrice A − I n et l’endomorphisme qui
lui est canoniquement associé, nous procéderons de même dans le corrigé.
On doit établir une formule qui montre un lien entre la trace d’une matrice et la
dimension du noyau d’un certain endomorphisme. Ce genre de relation peut faire
Notons u k l’endomorphisme de K
n de matrice A k dans la base canonique de E = K
n .
Raisonnons par récurrence sur n ∈ N
∗ la dimension de l’espace. Pour n = 1 la
proposition est immédiate (l’endomorphisme u 1 est nul).
Soit n 2. Supposons la proposition vraie pour tout k ∈ [[1, n − 1]] et montrons-la
pour n.
Si u n = 0 la proposition est immédiate.
Sinon, l’endomorphisme u n étant nilpotent n’est pas inversible, son noyau Ker u n est
donc non nul et différent de K
n , et, comme les u k commutent avec u n , on en déduit
que Ker u n est stable par les u k pour tout k ∈ [[0, n − 1]]. Soit (e 1 , . . . , e p ) une base
de Ker u n . On la complète pour avoir une base B = (e 1 , . . . , e n ) de E.
Dans la base B, l’endomorphisme u k a pour matrice B k =
C k D k
0 E k
, où C k et E k
sont des matrices carrées d’ordre p et n − p respectivement, avec de plus C n = 0.
On remarque que p et n − p appartiennent à [[1, n − 1]].
Pour k ∈ [[1, n−1]], les u k commutant deux à deux, nous remarquons, avec la règle du
produit par blocs, que les E k et C k commutent deux à deux, et, les u k étant nilpotents,
que les E k et C k sont nilpotentes. On peut donc appliquer l’hypothèse de récurrence
aux C k et aux E k (il y en a au plus n − 1) : E 1 · · · E n−1 = 0 et C 1 · · · C n−1 = 0. On
en déduit avec la règle du produit par blocs : B 1 · · · B n−1 =
0 D
0 0
, d’où l’on tire,
avec B n =
0 D n
0 E n
, la relation
B 1 · · · B n = B n B 1 · · · B n−1 =
0 D n
0 E n
0 D
0 0
= 0 .
On a donc u 1 ◦ · · · ◦ u n = 0 et enfin A 1 · · · A n = 0.
Exercice 4.41
Mines-Ponts MP 2007 Ã
Soit A dans M n (R) telle que A
q = I n , avec q dans N
∗ . Montrer que :
dim Ker(A − I n ) =
1
q
q
k=1
tr(A
k ).
Remarquons que l’énoncé ne distingue pas la matrice A − I n et l’endomorphisme qui
lui est canoniquement associé, nous procéderons de même dans le corrigé.
On doit établir une formule qui montre un lien entre la trace d’une matrice et la
dimension du noyau d’un certain endomorphisme. Ce genre de relation peut faire