4) • Supposons que (ii) est vraie. Il existe (X , Y ) ∈ (M n (K))
2 tel que XY −Y X = A.
On a alors tr(A) = tr(XY − Y X). Or la trace est linéaire et tr(XY ) = tr(Y X), donc
tr(A) = 0. Ainsi (ii) ⇒ (i).
• Supposons que (i) est vraie. D’après la question 2), la matrice A est semblable à
une matrice B dont les coefficients diagonaux sont nuls. Il existe donc P ∈ GL n (K)
tel que B = P
−1 AP. Or, B appartient à N = Im w. Il existe donc C ∈ M n (K) tel
que B = w(C) = DC − C D. Ainsi P
−1 AP = DC − C D. On en déduit alors que
A = P DC P
−1
− PC D P
−1
= (P D P
−1 )(PC P
−1 ) − (PC P
−1 )(P D P
−1 )
= XY − Y X,
où X = P D P
−1 et Y = PC P
−1
Exercice 4.39
Polytechnique MP 2005
Soient A et B dans M n (C). On suppose qu’il existe n + 1 valeurs de l dans C
telles que A + lB soit nilpotente. Montrer que A et B sont nilpotentes.
Indication de la rédaction : l’indice de nilpotence d’une matrice nilpotente de
M n (K) est inférieur ou égal à n voir exercice 3.18 page 67.
Soit C(l) la matrice de M n (C) définie par C(l) = (A + lB)
n . On sait que l’indice
de nilpotence d’une matrice nilpotente de M n (C) est inférieur ou égal à n. L’énoncé
nous dit donc qu ’il existe n + 1 valeurs de l dans C telles que C(l) = 0. Or les
coefficients de C(l) sont des polynômes en l de degré au plus n (on montre par
récurrence que pour k dans N les coefficients de (A + lB)
k sont des polynômes en
l de degré au plus k), qui admettent chacun n + 1 racines. Ces polynômes sont donc
nuls et on en déduit : pour tout l dans C la matrice C(l) = (A +lB)
n = 0. On a donc
montré que pour toute valeur de l, la matrice A + lB est nilpotente, en particulier
pour l = 0 on obtient que A est nilpotente.
Comme la matrice (A + lB)
n est nulle pour tout l elle est en particulier nulle en n + 1
valeurs non nulles de l. En ces n + 1 valeurs la matrice B +
1
l
A est nilpotente. On
peut alors appliquer ce que l’on vient de démontrer en inversant les rôles de A et B
et on en déduit alors que B est nilpotente.
Exercice 4.40
Polytechnique MP 2005, Centrale 2004 Ã
Soient K un corps, n ∈ N
∗ et A 1 , A 2 , · · · , A n des matrices nilpotentes de M n (K)
qui commutent deux à deux. Montrer que A 1 A 2 · · · A n = 0.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
2 tel que XY −Y X = A.
On a alors tr(A) = tr(XY − Y X). Or la trace est linéaire et tr(XY ) = tr(Y X), donc
tr(A) = 0. Ainsi (ii) ⇒ (i).
• Supposons que (i) est vraie. D’après la question 2), la matrice A est semblable à
une matrice B dont les coefficients diagonaux sont nuls. Il existe donc P ∈ GL n (K)
tel que B = P
−1 AP. Or, B appartient à N = Im w. Il existe donc C ∈ M n (K) tel
que B = w(C) = DC − C D. Ainsi P
−1 AP = DC − C D. On en déduit alors que
A = P DC P
−1
− PC D P
−1
= (P D P
−1 )(PC P
−1 ) − (PC P
−1 )(P D P
−1 )
= XY − Y X,
où X = P D P
−1 et Y = PC P
−1
Exercice 4.39
Polytechnique MP 2005
Soient A et B dans M n (C). On suppose qu’il existe n + 1 valeurs de l dans C
telles que A + lB soit nilpotente. Montrer que A et B sont nilpotentes.
Indication de la rédaction : l’indice de nilpotence d’une matrice nilpotente de
M n (K) est inférieur ou égal à n voir exercice 3.18 page 67.
Soit C(l) la matrice de M n (C) définie par C(l) = (A + lB)
n . On sait que l’indice
de nilpotence d’une matrice nilpotente de M n (C) est inférieur ou égal à n. L’énoncé
nous dit donc qu ’il existe n + 1 valeurs de l dans C telles que C(l) = 0. Or les
coefficients de C(l) sont des polynômes en l de degré au plus n (on montre par
récurrence que pour k dans N les coefficients de (A + lB)
k sont des polynômes en
l de degré au plus k), qui admettent chacun n + 1 racines. Ces polynômes sont donc
nuls et on en déduit : pour tout l dans C la matrice C(l) = (A +lB)
n = 0. On a donc
montré que pour toute valeur de l, la matrice A + lB est nilpotente, en particulier
pour l = 0 on obtient que A est nilpotente.
Comme la matrice (A + lB)
n est nulle pour tout l elle est en particulier nulle en n + 1
valeurs non nulles de l. En ces n + 1 valeurs la matrice B +
1
l
A est nilpotente. On
peut alors appliquer ce que l’on vient de démontrer en inversant les rôles de A et B
et on en déduit alors que B est nilpotente.
Exercice 4.40
Polytechnique MP 2005, Centrale 2004 Ã
Soient K un corps, n ∈ N
∗ et A 1 , A 2 , · · · , A n des matrices nilpotentes de M n (K)
qui commutent deux à deux. Montrer que A 1 A 2 · · · A n = 0.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit