Chap. 4. Matrices
nulle. Soit alors Q la matrice de M n (K) définie par : Q =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1 0 · · · 0
0
. . .
P
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
La matrice Q est inversible et son inverse est donné par Q
−1 =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1 0 · · · 0
0
. . .
P
−1
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
On a alors :
Q
−1 A
Q =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1 0 · · · 0
0
. . .
P
−1
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 a
12 · · · a
1n
1
0
B
. . .
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1 0 · · · 0
0
. . .
P
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1 0 · · · 0
0
. . .
P
−1
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
(a
12 , . . . , a
1n )P
1
0
B P
. . .
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
(a
12 , . . . , a
1n )P
P
−1
⎛
⎜
⎝
1
0
. . .
⎞
⎟
⎠
P
−1 B P
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Comme la matrice P
−1 B P est à diagonale nulle, la matrice Q
−1 A
Q est aussi à diagonale nulle. Or, par construction A est semblable à A
qui est semblable à Q
−1 A
Q
qui est à diagonale nulle, on a bien montré que A est semblable à une matrice de
diagonale nulle.
3) Soit M = (m i j ) 1i, jn ∈ M n (K) . On vérifie que w(M) = (a i j ) 1i, jn où
a i j =
0
s ii = j
(d i − d j )m i j si i = j
.
• Déterminons Ker w. Une matrice M appartient à Ker w si et seulement si pour tout
couple (i, j) ∈ {1, . . . , n}
2 tel que i = j, on a (d i − d j )m i j = 0. Comme les d i sont
deux à deux distincts, on en déduit m i j = 0. Ainsi Ker w est l’ensemble des matrices
diagonales que l’on note D.
• Déterminons Im w. Le sous-espace vectoriel Im w est inclus dans le sous-espace
N des matrices dont les coefficients diagonaux sont nuls. D’autre part, d’après le
théorème du rang, dim Im w = n
2
− dim Ker w = n
2
− n. Comme on a également
dim N = n
2
− n, on en déduit que Im w = N .