2) Montrer que toute matrice de M n (K) de trace nulle est semblable à une
matrice de diagonale nulle.
Indication de la rédaction : on pourra raisonner par récurrence sur n.
3) Soient d 1 , . . . , d n dans K deux à deux distincts, et D = diag(d 1 , . . . , d n ). Soit
w ∈ L(M n (K)) qui à M associe DM − M D. Déterminer le noyau et l’image
de w.
4) Etant donnée A ∈ M n (K), établir l’équivalence des propriétés (i) et (ii) suivantes : (i) tr A = 0 , (ii) ∃ (X , Y ) ∈ (M n (K))
2 tel que XY − Y X = A.
1) Soit B = (e 1 , . . . , e n ) une base de E. Pour tout i ∈ {1, . . . , n}, il existe g i ∈ K tel
que u(e i ) = g i e i . Il existe aussi g ∈ K tel que u
n
i=1
e i
= g
n
i=1
e i . on obtient
alors en vertu de la linéarité de u que g
n
i=1
e i =
n
i=1
g i e i , et comme B est une base,
on en déduit g 1 = . . . = g n = g. Ainsi u = g Id E , ce qui signifie que u est une
homothétie.
2) On va montrer ce résultat par récurrence sur la taille n de A.
Pour n = 1 le résultat est immédiat car une matrice de M 1 (K) de trace nulle est
nulle. Supposons le résultat acquis au rang n − 1 et montrons le au rang n.
Soit A une matrice carrée de taille n 2 et de trace nulle. Soit f l’endomorphisme
de K
n canoniquement associé à A. On veut montrer qu’il existe une base dans
laquelle la matrice de f est à diagonale nulle.
Commençons par montrer qu’il existe une base B
de K
n dans laquelle la matrice
A
= M B ( f ) = (a
i j ) 1in,1 jn est telle que a
11 = 0. Il suffit pour cela de trouver
une base dont le premier vecteur e 1 est tel que f (e 1 ) n’a pas de composante sur e 1 .
Or, pour que cette condition soit vérifiée, il suffit de trouver x dans K
n tel que la
famille (x, f (x)) soit libre et de choisir alors e 1 = x et e 2 = f (x) comme premiers
vecteurs d’une base de K
n . Or, d’après la première question, les endomorphismes f
de L(E) tels que (x, f (x)) est liée pour tout x de E sont les homothéties de E. Si
f est une homothétie, comme elle est de trace nulle, c’est l’application nulle et le
résultat est acquis. Sinon il existe x dans K
n tel que la famille (x, f (x)) soit libre, on
complète donc la famille (e 1 , e 2 ) = (x, f (x)) en une base B
= (e 1 , e 2 , e 3 , . . . , e n ) de
K
n . On a alors A
= M B ( f ) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 a
12 · · · a
1n
1
0
B
. . .
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
La matrice B est carrée d’ordre n et on a de plus tr f = tr A
= tr B = 0. Par
hypothèse de récurrence, il existe P dans GL n (K) tel que P
−1 B P soit à diagonale
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
matrice de diagonale nulle.
Indication de la rédaction : on pourra raisonner par récurrence sur n.
3) Soient d 1 , . . . , d n dans K deux à deux distincts, et D = diag(d 1 , . . . , d n ). Soit
w ∈ L(M n (K)) qui à M associe DM − M D. Déterminer le noyau et l’image
de w.
4) Etant donnée A ∈ M n (K), établir l’équivalence des propriétés (i) et (ii) suivantes : (i) tr A = 0 , (ii) ∃ (X , Y ) ∈ (M n (K))
2 tel que XY − Y X = A.
1) Soit B = (e 1 , . . . , e n ) une base de E. Pour tout i ∈ {1, . . . , n}, il existe g i ∈ K tel
que u(e i ) = g i e i . Il existe aussi g ∈ K tel que u
n
i=1
e i
= g
n
i=1
e i . on obtient
alors en vertu de la linéarité de u que g
n
i=1
e i =
n
i=1
g i e i , et comme B est une base,
on en déduit g 1 = . . . = g n = g. Ainsi u = g Id E , ce qui signifie que u est une
homothétie.
2) On va montrer ce résultat par récurrence sur la taille n de A.
Pour n = 1 le résultat est immédiat car une matrice de M 1 (K) de trace nulle est
nulle. Supposons le résultat acquis au rang n − 1 et montrons le au rang n.
Soit A une matrice carrée de taille n 2 et de trace nulle. Soit f l’endomorphisme
de K
n canoniquement associé à A. On veut montrer qu’il existe une base dans
laquelle la matrice de f est à diagonale nulle.
Commençons par montrer qu’il existe une base B
de K
n dans laquelle la matrice
A
= M B ( f ) = (a
i j ) 1in,1 jn est telle que a
11 = 0. Il suffit pour cela de trouver
une base dont le premier vecteur e 1 est tel que f (e 1 ) n’a pas de composante sur e 1 .
Or, pour que cette condition soit vérifiée, il suffit de trouver x dans K
n tel que la
famille (x, f (x)) soit libre et de choisir alors e 1 = x et e 2 = f (x) comme premiers
vecteurs d’une base de K
n . Or, d’après la première question, les endomorphismes f
de L(E) tels que (x, f (x)) est liée pour tout x de E sont les homothéties de E. Si
f est une homothétie, comme elle est de trace nulle, c’est l’application nulle et le
résultat est acquis. Sinon il existe x dans K
n tel que la famille (x, f (x)) soit libre, on
complète donc la famille (e 1 , e 2 ) = (x, f (x)) en une base B
= (e 1 , e 2 , e 3 , . . . , e n ) de
K
n . On a alors A
= M B ( f ) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 a
12 · · · a
1n
1
0
B
. . .
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
La matrice B est carrée d’ordre n et on a de plus tr f = tr A
= tr B = 0. Par
hypothèse de récurrence, il existe P dans GL n (K) tel que P
−1 B P soit à diagonale
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit