Chap. 5. Déterminants
En développant ce déterminant par rapport à sa k-ième ligne on obtient
det B (e 1 , . . . , e k−1 , u(e k ), e k+1 , . . . , e n ) = a kk , d’où l =
n
k=1
a kk = tr(u) et
f (x 1 , . . . , x n ) = tr(u). det B (x 1 , . . . , x n ).
Exercice 5.16
CCP MP 2006
Soit u ∈ R et A n = (a i, j ) 1i, jn ∈ M n (R) où a i,i = 2 cos u, a i, j = −1 si
j = i − 1 ou j = i + 1, et a i, j = 0 sinon. Calculer det( A n ).
Pour n 3, posons D n = det(A n ) =
2 cos u
−1
0
0
. . .
−1
2cosu −1 0
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
−1 2cosu
.
En développant ce déterminant par rapport à la première colonne on obtient
D n = 2 cos uD n−1 +
−1
0
. . .
0
−1 2cosu −1
. . .
. . .
. . .
0
−1 2cosu
.
En développant ce dernier déterminant par rapport à sa première ligne, on obtient la
relation ∀n 3, D n = 2 cos uD n−1 − D n−2 (∗).
On calcule directement D 1 = 2 cos u et D 2 = 4 cos
2 u−1. (On observe que la relation
(∗) précédente est aussi vérifiée pour n = 2, si on convient que D 0 = 1).
Il s’agit alors d’une relation de récurrence linéaire du second ordre. L’équation
caractéristique associée est (E) r
2
− 2r cos u + 1 = 0 et son discriminant est
D = 4(cos
2 u − 1) = −4 sin
2 u.
• Lorsque u /
∈ pZ, l’équation (E) a deux racines distinctes r 1 = cos u + i sin u = e
iu
et r 2 = cos u − i sin u = e
−iu . Il existe deux constantes complexes A et B telles
que ∀n ∈ N
∗ , D n = Ae
niu + Be
−niu . Les constantes A et B sont déterminées par
les conditions initiales D 0 = 1 = A + B et D 1 = 2 cos u = Ae
iu + Be
−iu . On en
déduit alors A =
e
iu
e
iu
− e
−iu
et B =
−e
−iu
e
iu
− e
−iu
et donc
D n =
e
iu e
niu
− e
−iu e
−niu
e
iu
− e
−iu
=
sin(n + 1)u
sin u
.
• Lorsque u est de la forme 2kp, (k ∈ Z), l’équation (E) a une unique racine r = 1
et il existe deux constantes complexes A et B telles que ∀n ∈ N
∗ , D n = A + Bn.
On déduit des conditions initiales D 0 = 1 et D 1 = 2 que D n = n + 1.