Chap. 4. Matrices
2) Soit p l’indice de nilpotence de A. Soit n dans N. Soit k dans [[0, n]]. Si k < p et
n − k < p alors n = n − k + k < 2 p. Par contraposition, n 2 p entraîne k p
ou n − k p et par suite A
k = 0 ou A
n−k = 0. Donc l’inégalité n 2 p entraîne
que pour tout k dans [[1, n]], pour tout M dans M n (C), on a A
n−k M A
k = 0.
On en déduit que n 2 p entraîne D
n
A = 0 : on a ainsi montré que D A est un
endomorphisme nilpotent.
4.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 4.32
Mines-Ponts MP 2006
1) Soit f une forme linéaire sur M n (R) vérifiant : pour tout A et B dans M n (R),
f (AB) = f (B A). Montrer que f est proportionnelle à la trace.
2) Soit g un endomorphisme de l’espace vectoriel M n (R) vérifiant : pour tout A
et B dans M n (R), g(AB) = g(B A) et g(I n ) = I n . Montrer que g conserve la
trace.
1) On va essayer de déterminer les valeurs que peut prendre f sur les éléments de la
base canonique de M n (R) :
∀(i , j) ∈ [[1, n]]
2 , i = j ⇒ f (E i j ) = f (E i j E j j ) = f (E j j E i j ) = f (0) = 0.
On a par ailleurs :
∀(i, j) ∈ [[1, n]]
2 : f (E ii ) = f (E i j E ji ) = f (E ji E i j ) = f (E j j ).
Soit alors l la valeur commune de f sur les E ii . On constate que f et l tr coïncident sur la base canonique de M n (R). Elles sont donc égales. On a ainsi montré
que f est proportionelle à la trace.
2) On peut considérer l’application w = tr ◦g. Cette forme linéaire vérifie les conditions de la question précédente, elle est donc proportionelle à la trace. La condition
g(I n ) = I n entraîne que la constante de proportionnalité vaut 1. On a ainsi montré
que tr ◦g = tr, ce qui montre que pour tout A dans M n (R), on a tr(g(A)) = tr(A).
On peut aussi reprendre les mêmes calculs que précédemment qui montrent que
pour (i, j) ∈ [[1, n]]
2 , si i = j alors g(E i j ) = 0 tandis que g est constante sur
les E ii .
La condition g(I n ) = I n va nous permettre de calculer g(E 11 ). En effet :
g(I n ) = g(
n
i=1
E ii ) = ng(E 11 ).
On en déduit g(E 11 ) =
1
n
I n .
2) Soit p l’indice de nilpotence de A. Soit n dans N. Soit k dans [[0, n]]. Si k < p et
n − k < p alors n = n − k + k < 2 p. Par contraposition, n 2 p entraîne k p
ou n − k p et par suite A
k = 0 ou A
n−k = 0. Donc l’inégalité n 2 p entraîne
que pour tout k dans [[1, n]], pour tout M dans M n (C), on a A
n−k M A
k = 0.
On en déduit que n 2 p entraîne D
n
A = 0 : on a ainsi montré que D A est un
endomorphisme nilpotent.
4.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 4.32
Mines-Ponts MP 2006
1) Soit f une forme linéaire sur M n (R) vérifiant : pour tout A et B dans M n (R),
f (AB) = f (B A). Montrer que f est proportionnelle à la trace.
2) Soit g un endomorphisme de l’espace vectoriel M n (R) vérifiant : pour tout A
et B dans M n (R), g(AB) = g(B A) et g(I n ) = I n . Montrer que g conserve la
trace.
1) On va essayer de déterminer les valeurs que peut prendre f sur les éléments de la
base canonique de M n (R) :
∀(i , j) ∈ [[1, n]]
2 , i = j ⇒ f (E i j ) = f (E i j E j j ) = f (E j j E i j ) = f (0) = 0.
On a par ailleurs :
∀(i, j) ∈ [[1, n]]
2 : f (E ii ) = f (E i j E ji ) = f (E ji E i j ) = f (E j j ).
Soit alors l la valeur commune de f sur les E ii . On constate que f et l tr coïncident sur la base canonique de M n (R). Elles sont donc égales. On a ainsi montré
que f est proportionelle à la trace.
2) On peut considérer l’application w = tr ◦g. Cette forme linéaire vérifie les conditions de la question précédente, elle est donc proportionelle à la trace. La condition
g(I n ) = I n entraîne que la constante de proportionnalité vaut 1. On a ainsi montré
que tr ◦g = tr, ce qui montre que pour tout A dans M n (R), on a tr(g(A)) = tr(A).
On peut aussi reprendre les mêmes calculs que précédemment qui montrent que
pour (i, j) ∈ [[1, n]]
2 , si i = j alors g(E i j ) = 0 tandis que g est constante sur
les E ii .
La condition g(I n ) = I n va nous permettre de calculer g(E 11 ). En effet :
g(I n ) = g(
n
i=1
E ii ) = ng(E 11 ).
On en déduit g(E 11 ) =
1
n
I n .