Soit A = (a i j ) 1i, jn dans M n (R). On a A =
1i, jn
a i j E i j . On en déduit que
g(A) =
1i, jn
a i j g(E i j ) =
1in
a ii
1
n
I n =
tr(A)
n
I n .
Il est alors clair que tr(g( A)) = tr A. On a en fait montré mieux que ce que proposait l’énoncé puisqu’on a donné une expression explicite de g.
Exercice 4.33
Dual de M n (K)
Montrer que pour tout f dans le dual de M n (K), il existe une matrice A telle
que :
∀M ∈ M n (K), f(M) = tr(AM).
Notons M n (K)
∗ le dual de M n (K). Soit F l’application de M n (K) dans son
dual, qui à toute matrice A de M n (K) associe la forme linéaire F(A) définie par :
∀M ∈ M n (K), F(A)(M) = tr(AM). La question posée dans l’énoncé revient à
montrer que F est surjective.
On montre sans peine que F est linéaire et comme M n (K)
∗ et M n (K) ont même
dimension il suffit de montrer que F est injective pour montrer que c’est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
Soit A = (a i j ) 1i, jn telle que F(A) est nulle. Pour tout M dans M n (K), on a
F(A)(M) = tr(AM) = 0. En particulier, pour tout (k, l) dans [[1, n]]
2 , on a :
tr(AE kl ) = tr(
1i, jn
a i j E i j E kl ) = tr
1in
a ik E il = a lk = 0.
On en déduit que A est nulle. On a montré que F est injective, comme M n (K)
∗ et
M n (K) ont même dimension, on en déduit que F est un isomorphisme d’espaces
vectoriels. En particulier F est surjective.
Remarque
Pour montrer l’injectivité de F on peut aussi s’intéresser à F(A)(
t A). On a en effet
tr(A
t A) =
1i, jn
a
2
i j , et on a donc tr(A
t A) = 0 si et seulement si A = 0. Voir
chapitre « Espaces euclidiens » pour fournir un cadre naturel à ce qui peut sembler
ici une belle astuce.
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