On en déduit que A
t A =
t A A entraîne
n
i=1
a
2
1i = a
2
11 et A
t A
=
t A
A
+ V
t V . Ceci
entraîne que pour tout i dans [[2, n]], le réel a 1i est nul, donc V = 0 et
t A
A
= A
t A
.
Alors A
est diagonale par hypothèse de récurrence et on a ainsi montré que A est
diagonale.
Exercice 4.31
Polytechnique MP 2005
Soit A dans M n (C). On pose, pour M dans M n (C), D A (M) = AM − M A.
1) Calculer les puissances de D A .
2) Montrer que si A est nilpotente, alors D A est nilpotente.
1) Commençons par determiner D
2
A . Soit M dans M n (C), on a :
D
2
A (M) = D A ( AM − M A) = A
2 M − 2 AM A + M A
2 . Pour D
3
A , on obtient
D
3
A = A
3 M − 3A
2 M A + 3AM A
2
− M A
3 .
On peut alors conjecturer que : ∀n ∈ N , D
n
A (M) =
n
k=0
(−1)
k
n
k
A
n−k M A
k .
Montrons ce résultat par récurrence.
Le résultat est vrai pour n = 1.
Soit n dans N. On suppose que le résultat est vrai au rang n. On a :
D
n+1
A (M) = D A (D
n
A (M)
= D A
n
k=0
(−1)
k
n
k
A
n−k M A
k )
=
n
k=0
(−1)
k
n
k
A
n+1−k M A
k
−
n
k=0
(−1)
k
n
k
A
n−k M A
k+1
=
n
k=0
(−1)
k
n
k
A
n+1−k M A
k
−
n+1
k=1
(−1)
k−1
n
k − 1
A
n+1−k M A
k
= A
n+1 M +
n
k=1
(−1)
k
n
k
+
n
k − 1
A
n+1−k M A
k + (−1)
n+1 M A
n+1
=
n+1
k=0
(−1)
k
n + 1
k
A
n+1−k M A
k
Ce qui montre que le résultat est héréditaire.
Remarque
On peut aussi démontrer ce résultat en utilisant que M → M A et M → AM
commutent puis en leur appliquant la formule du binôme de Newton.
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