Chap. 4. Matrices
n
j=1
b j f (u j ) +
n
j=1
c j f
2 (u j ) = 0 . En appliquant f , à cette relation, il vient
n
j=1
b j f
2 (u j ) =
n
j=1
b j e j = 0 , et de nouveau on déduit b 1 = · · · = b n = 0. Il reste
alors
n
j=1
c j f
2 (u j ) =
n
j=1
c j e j = 0 , et finalement c 1 = · · · = c n = 0. Le système B
est une base de E, et dans cette base la matrice de f est
⎛
⎝
0 0 0
I n 0 0
0 I n 0
⎞
⎠ .
Exercice 4.30
Centrale MP 2005
Montrer que les matrices triangulaires réelles qui commutent avec leur transposée sont diagonales.
On va procéder par récurrence sur la taille de la matrice considérée. Soit n dans N,
soit A une matrice de M n (R) qui commute avec sa transposée.
Si n=1, la matrice A est diagonale.
Soit n 2, on suppose que le résultat est vrai pour les matrices de taille n − 1. Quitte
à échanger A et
t A, on peut supposer A triangulaire supérieure et on peut alors écrire
A sous la forme :
A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a 11 a 12 · · · a 1n
0
. . .
A
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
,
où A
est une matrice triangulaire supérieure de M n−1 (R). En notant V le vecteur
colonne défini par
t V = (a 12 , . . . , a 1n ), on a :
A
t A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a 11 a 12 · · · a 1n
0
. . .
A
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a 11 0 · · · 0
a 12
. . .
t A
a 1n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
n
i=1
a
2
1i
t V
t A
A
V
A
t A
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,
tandis que :
t A A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a 11 0 · · · 0
a 12
. . .
t A
a 1n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a 11 a 12 · · · a 1n
0
. . .
A
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎝
a
2
11
a 11
t V
a 11 V
t A
A
+ V
t V
⎞
⎟
⎟
⎠ .