Comme la famille (I n , J , J
2 ) est libre, on en déduit que le système :
(S)
⎧
⎨
⎩
a
2 + 2bc = 0
c
2 + 2ab = 1
b
2 + 2ac = 0
.
En multipliant la première ligne et la troisième ligne de (S) par respectivement
a et b, on constate que (S) entraîne a
3
− b
3 = 0. Comme la fonction de R dans
R, qui à x associe x
3 est bijective, on en déduit que a = b. Le système (S) se
simplifie alors en
(S
)
a
2 + 2ac = 0
c
2 + 2a
2 = 1
.
On en déduit que a = 0 ou a = −2c, ce qui mène respectivement à
a = b = 0, c = ±1 ou a = b =
2
3
, c = −
1
3
ou a = b = −
2
3
, c =
1
3
.
on vérifie sans difficulté que ces solutions conviennent effectivement, et on en
déduit :
D(J ) =
±J
2 , ±
1
3
2I n + 2J − J
2
.
Remarque
Voir chapitre « Réduction » pour des méthodes plus générales de recherche d’un
commutant.
Exercice 4.27
Mines-Ponts MP 2006
Montrer que les matrices A =
⎛
⎝
1 2 3
3 1 2
2 3 1
⎞
⎠ et
t A =
⎛
⎝
1 3 2
2 1 3
3 2 1
⎞
⎠ sont semblables.
Devant ce genre d’exercice il est naturel de se tourner vers des méthodes qui seront
vues dans le chapitre « Réduction ». Nous allons vous présenter une solution élémentaire adaptée à cette matrice particulière mais difficilement généralisable.
Soit u un endomorphisme de R
3 de matrice A dans une base notée B = (e 1 , e 2 , e 3 ).
On a donc
⎧
⎨
⎩
u(e 1 ) = e 1 + 3e 2 + 2e 3
u(e 2 ) = 2e 1 + e 2 + 3e 3
u(e 3 ) = 3e 1 + 2e 2 + e 3
. Alors si l’on pose v 1 = e 2 , v 2 = e 1 , v 3 = e 3 ,
on obtient
⎧
⎨
⎩
u(v 1 ) = v 1 + 2v 2 + 3v 3
u(v 2 ) = 3v 1 + v 2 + 2v 3
u(v 3 ) = 2v 1 + 3v 2 + v 3
. Dans la base B
= (v 1 , v 2 , v 3 ), la matrice de
u est donc
t A. Les matrices A et
t A sont donc semblables.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
2 ) est libre, on en déduit que le système :
(S)
⎧
⎨
⎩
a
2 + 2bc = 0
c
2 + 2ab = 1
b
2 + 2ac = 0
.
En multipliant la première ligne et la troisième ligne de (S) par respectivement
a et b, on constate que (S) entraîne a
3
− b
3 = 0. Comme la fonction de R dans
R, qui à x associe x
3 est bijective, on en déduit que a = b. Le système (S) se
simplifie alors en
(S
)
a
2 + 2ac = 0
c
2 + 2a
2 = 1
.
On en déduit que a = 0 ou a = −2c, ce qui mène respectivement à
a = b = 0, c = ±1 ou a = b =
2
3
, c = −
1
3
ou a = b = −
2
3
, c =
1
3
.
on vérifie sans difficulté que ces solutions conviennent effectivement, et on en
déduit :
D(J ) =
±J
2 , ±
1
3
2I n + 2J − J
2
.
Remarque
Voir chapitre « Réduction » pour des méthodes plus générales de recherche d’un
commutant.
Exercice 4.27
Mines-Ponts MP 2006
Montrer que les matrices A =
⎛
⎝
1 2 3
3 1 2
2 3 1
⎞
⎠ et
t A =
⎛
⎝
1 3 2
2 1 3
3 2 1
⎞
⎠ sont semblables.
Devant ce genre d’exercice il est naturel de se tourner vers des méthodes qui seront
vues dans le chapitre « Réduction ». Nous allons vous présenter une solution élémentaire adaptée à cette matrice particulière mais difficilement généralisable.
Soit u un endomorphisme de R
3 de matrice A dans une base notée B = (e 1 , e 2 , e 3 ).
On a donc
⎧
⎨
⎩
u(e 1 ) = e 1 + 3e 2 + 2e 3
u(e 2 ) = 2e 1 + e 2 + 3e 3
u(e 3 ) = 3e 1 + 2e 2 + e 3
. Alors si l’on pose v 1 = e 2 , v 2 = e 1 , v 3 = e 3 ,
on obtient
⎧
⎨
⎩
u(v 1 ) = v 1 + 2v 2 + 3v 3
u(v 2 ) = 3v 1 + v 2 + 2v 3
u(v 3 ) = 2v 1 + 3v 2 + v 3
. Dans la base B
= (v 1 , v 2 , v 3 ), la matrice de
u est donc
t A. Les matrices A et
t A sont donc semblables.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit