Exercice 4.28
Centrale PSI 2006
Soient A et B dans M n (C) et M =
A A
A B
.
1) Déterminer le rang de M en fonction de A et B.
2) Calculer M
−1 quand elle existe.
1) Par manipulation sur les lignes et les colonnes de M, on trouve :
rg M = rg
A A
A B
= rg
A
A
0 B − A
= rg
A
0
0 B − A
.
On en déduit, voir exercice 4.20, que rg M = rg A + rg (B − A).
2) Puisque rg A n et rg (B − A) n, on a rg M = 2n si et seulement si
rg A = rg (B − A) = n. Il en résulte que la matrice M est inversible si et seulement
si A et B − A sont inversibles. Supposons que les matrices A et A − B sont inversibles et déterminons l’inverse de la matrice M. On vous propose deux méthodes
pour déterminer l’inverse de M.
• Première méthode : les manipulations précédentes peuvent être traduites en
termes de produits par des matrices inversibles :
I n
0
−I n I n
A A
A B
=
A
A
0 B − A
,
A
A
0 B − A
I n −I n
0
I n
=
A
0
0 B − A
.
En s’inspirant de la matrice
1 −1
0 1
, on a
I n
0
−I n I n
−1
=
I n 0
I n I n
et
I n −I n
0
I n
−1
=
I n I n
0 I n
. On a donc
A A
A B
=
I n 0
I n I n
A
0
0 B − A
I n I n
0 I n
A A
A B
−1
=
I n I n
0 I n
−1
A
0
0 B − A
−1
I n 0
I n I n
−1
=
I n −I n
0
I n
A
−1
0
0
(B − A)
−1
I n
0
−I n I n
=
A
−1 + (B − A)
−1
−(B − A)
−1
−(B − A)
−1
(B − A)
−1
.
• Deuxième méthode : Etant donnés X et Y deux vecteurs colonnes de C
n ,
résolvons le système d’équations M
U
V
=
X
Y
, d’inconnues U et V où