Exercice 4.26
CCP PSI 2005
Soit J =
⎛
⎝
0 0 1
1 0 0
0 1 0
⎞
⎠ et soit C(J ) = {M ∈ M 3 (R) | M J = J M}.
1) Montrer que C(J ) est un sous-espace vectoriel et en donner une base.
L’ensemble C(J ) est appelé commutant de J .
2) Existe-t-il une inclusion entre C(J ) et D(J ) = {Y ∈ M 3 (R) | Y
2 = J } ?
Trouver D(J ).
1) On va montrer que C(J ) est un sous-espace vectoriel de M 3 (R).
La matrice nulle est dans C(J ) donc C(J ) est non vide.
Soient A et B dans C(J), soient a et b dans R :
(aA + bB)J = aA J + bB J = aJ A + bJ B = J (aA + bB) .
On a donc montré que C(J ) est une partie non vide de M 3 (R) stable par combinaison linéaire. On en déduit que C(J ) est un sous-espace vectoriel de M 3 (R).
La matrice J étant très simple on va pour une fois traduire la condition d’appartenance au commutant en relations coefficient à coefficient.
Soit A =
⎛
⎝
a b c
d e f
g h i
⎞
⎠ dans M 3 (R). La matrice A appartient à C(J ) si et seulement si J A = A J , ce qui s’écrit
⎛
⎝
g h i
a b c
d e f
⎞
⎠ =
⎛
⎝
b c a
e f d
h i g
⎞
⎠ .
On en déduit que A appartient à C(J ) si et seulement si
⎧
⎨
⎩
a = e = i
b = f = g
c = d = h
.
On reconnaît alors que A s’écrit sous la forme a I n + b J
2 + c J . On vient de
montrer que C(J ) ⊂ Vect(I n , J , J
2 ), l’inclusion réciproque est immédiate et
comme la famille (I n , J , J
2 ) est libre, cette famille est finalement une base de
Vect(I n , J , J
2 ) = C(J ).
2) On va montrer que D(J ) ⊂ C(J ).
Soit Y dans D(J ). On a alors Y J = Y Y
2 = Y
2 Y = J Y , ce qui montre que Y
est dans C(J ). On a bien montré que D(J ) ⊂ C(J ). Le résultat précédent montre
alors que, pour Y dans D(J ), il existe a, b et c dans R tels que Y = a I n +b J +c J
2 .
La condition Y
2 = J s’écrit alors : (a I n + b J + c J
2 )(a I n + b J + c J
2 ) = J
2 , ce qui,
en développant et en remarquant que J
3 = I n devient
(a
2 + 2bc)I n + (c
2 + 2ab)J + (b
2 + 2ac)J
2 = J .
CCP PSI 2005
Soit J =
⎛
⎝
0 0 1
1 0 0
0 1 0
⎞
⎠ et soit C(J ) = {M ∈ M 3 (R) | M J = J M}.
1) Montrer que C(J ) est un sous-espace vectoriel et en donner une base.
L’ensemble C(J ) est appelé commutant de J .
2) Existe-t-il une inclusion entre C(J ) et D(J ) = {Y ∈ M 3 (R) | Y
2 = J } ?
Trouver D(J ).
1) On va montrer que C(J ) est un sous-espace vectoriel de M 3 (R).
La matrice nulle est dans C(J ) donc C(J ) est non vide.
Soient A et B dans C(J), soient a et b dans R :
(aA + bB)J = aA J + bB J = aJ A + bJ B = J (aA + bB) .
On a donc montré que C(J ) est une partie non vide de M 3 (R) stable par combinaison linéaire. On en déduit que C(J ) est un sous-espace vectoriel de M 3 (R).
La matrice J étant très simple on va pour une fois traduire la condition d’appartenance au commutant en relations coefficient à coefficient.
Soit A =
⎛
⎝
a b c
d e f
g h i
⎞
⎠ dans M 3 (R). La matrice A appartient à C(J ) si et seulement si J A = A J , ce qui s’écrit
⎛
⎝
g h i
a b c
d e f
⎞
⎠ =
⎛
⎝
b c a
e f d
h i g
⎞
⎠ .
On en déduit que A appartient à C(J ) si et seulement si
⎧
⎨
⎩
a = e = i
b = f = g
c = d = h
.
On reconnaît alors que A s’écrit sous la forme a I n + b J
2 + c J . On vient de
montrer que C(J ) ⊂ Vect(I n , J , J
2 ), l’inclusion réciproque est immédiate et
comme la famille (I n , J , J
2 ) est libre, cette famille est finalement une base de
Vect(I n , J , J
2 ) = C(J ).
2) On va montrer que D(J ) ⊂ C(J ).
Soit Y dans D(J ). On a alors Y J = Y Y
2 = Y
2 Y = J Y , ce qui montre que Y
est dans C(J ). On a bien montré que D(J ) ⊂ C(J ). Le résultat précédent montre
alors que, pour Y dans D(J ), il existe a, b et c dans R tels que Y = a I n +b J +c J
2 .
La condition Y
2 = J s’écrit alors : (a I n + b J + c J
2 )(a I n + b J + c J
2 ) = J
2 , ce qui,
en développant et en remarquant que J
3 = I n devient
(a
2 + 2bc)I n + (c
2 + 2ab)J + (b
2 + 2ac)J
2 = J .