La matrice A n a pour déterminant 1 + a
2 /n
2 . On peut donc l’écrire
A n =
1 + a 2 /n 2
⎛
⎜
⎜
⎝
1
1 + a 2 /n 2
−
a/n
1 + a 2 /n 2
a/n
1 + a 2 /n 2
1
1 + a 2 /n 2
⎞
⎟
⎟
⎠ , et c’est la matrice d’une
similitude de rapport r n =
1 + a 2 /n 2 et d’angle u n défini par cos u n =
1
1 + a 2 /n 2
et sin u n =
a/n
1 + a 2 /n 2
.
2) Alors B n est une similitude de rapport r
n
n et d’angle nu n . On obtient donc
B n = A
n
n = (1 + a
2 /n
2 )
n/2
cos nu n − sin nu n
sin nu n cos nu n
. Mais
n ln
1 +
a
2
n 2
2
∼
a
2
2n
.
Il en résulte que
lim
n→+∞
r
n
n
= lim
n→+∞
exp
n ln
1 +
a
2
n 2
2
= 1 . D’autre part
lim
n→+∞
nu n = lim
n→+∞
n Arcsin
a/n
1 + a 2 /n 2
= a . Donc la suite (B n ) converge
vers
cos a − sin a
sin a
cos a
.
Exercice 4.25
CCP PSI 2005
Soient N =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a 1 a 1 . . . a 1
a 2 a 2 . . . a 2
. . .
. . .
. . .
a n a n . . . a n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
où a =
n
i=1
a i = 0 et M = (b i j ) la matrice
définie par : i = j ⇒ b i j = 2a i et b ii = a i −
j =i
a j .
1) Calculer N
2 .
2) Montrer que M est inversible et déterminer son inverse.
1) On vérifie sans difficulté que N
2 = aN .
2) On va encore une fois chercher un polynôme annulateur de M. Pour essayer d’utiliser la relation précédente, on écrit M = 2N − aI n . On a alors
M
2 = (2N − aI n )
2 = 4N
2
− 4aN + a
2 I n = a
2 I n .
Comme a est non nul on en déduit que M est inversible et son inverse est donnée
par la relation M
−1 =
1
a
2
M.
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