Comme la matrice
I m −C B
−1
0
I n
est inversible
A 0
0 B
et
A C
0 B
ont même rang.
Exercice 4.21
CCP MP 2006
Soit M dans M n+ p (R) décomposée par blocs : M =
A B
C D
avec A dans
GL n (R). Montrer que : rg (A) = rg (M) ⇔ D = C A
−1 B.
Remarquons tout d’abord que comme A est dans GL n (R), la proposition à démontrer
est équivalente à : rg (M) = n ⇔ D = C A
−1 B.
On va essayer de multiplier M par des matrices inversibles jusqu’à obtenir une
matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont assez simples.
A B
C D
A
−1
0
0
I n
=
I n
B
C A
−1
D
.
On a ensuite :
I n
B
C A
−1
D
I n
B
0 −I p
=
I n
0
C A
−1 C A
−1 B − D
.
Comme toutes les matrices par lesquelles on a multiplié M sont inversibles, le rang
de M est égal au rang de
I n
0
C A
−1 C A
−1 B − D
= rg I n + rg (C A
−1 B − D). On
en déduit rg (M) = n ⇔ rg (C A
−1 B − D) = 0 ⇔ D = C A
−1 B.
4.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
Exercice 4.22
CCP MP 2006
Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n > 1.
1) Montrer que f dans L(E), de rang 1, n’est pas forcément un projecteur.
2) Montrer que f dans L(E), de rang 1 et de trace 1 est un projecteur.
3) Trouver une base de M n (R) constituée de projecteurs.
1) On choisit E = R
2 . On considère l’endomorphisme f de E ayant pour matrice
M f =
0 1
0 0
dans la base canonique. Il est clair que rg f = 1. Mais
f
2 = 0 = f , ce qui montre que f n’est pas un projecteur.