Soit maintenant une famille F de r + s + 1 vecteurs colonnes de M 1 . Elle contient
nécessairement au moins r + 1 vecteurs colonnes dans la matrice
A
0
ou au
moins s + 1 vecteurs colonnes dans
0
B
. Dans le premier cas, il y a au moins
r + 1 vecteurs colonnes de A et la famille F est liée car elle contient une famille
liée. Dans le deuxième cas, il y a au moins s + 1 vecteurs colonnes de B et la
famille F est liée.
Finalement rg M = rg A + rg B.
• Deuxième méthode : on se ramène à une matrice triangulaire par blocs.
La matrice A est de rang r , il existe donc P A dans GL m (R) et Q A dans GL n (R)
telles que P A AQ A = J mnr . La matrice B est de rang s, il existe donc P B dans
GL p (R) et Q B dans GL q (R) telles que P B B Q B = J pqs . Soit alors les matrices
P =
P A 0
0 P B
et Q =
Q A 0
0 Q B
. Ces matrices sont inversibles :
P
−1 =
P
−1
A
0
0
P
−1
B
et Q
−1 =
Q
−1
A
0
0
Q
−1
B
, et de plus :
P A 0
0 P B
A 0
0 B
Q A 0
0 Q B
=
J mnr
0
0
J pqs
.
On en déduit que M 1 est équivalente à une matrice de rang r + s. On a donc
rg M 1 = r + s.
2) Là aussi on peut utiliser les deux méthodes précédentes, nous allons vous présenter le travail sur les colonnes.
Pour k ∈ {1, . . . , q}, notons w k le k-ième vecteur colonne de C. On peut refaire
la première partie du raisonnement précédent en notant cette fois V k =
w k
v k
.
On obtient encore rg M r + s = rg A + rg B. L’inégalité peut être stricte il suffit
de prendre A = 0, B = 0 et C = 0.
3) Supposons que B est inversible. On a donc p = q = s. Soit une famille de r +s +1
vecteurs colonnes de M. Comme on peut prendre au plus s vecteurs dans
C
B
,
il y a au moins r + 1 vecteurs de cette famille dans la matrice
A
0
, alors il y a au
moins r + 1 vecteurs dans A et la famille est liée. Finalement rg M = rg A + rg B.
Remarque
On peut aussi se ramener plus directement à la question précédente en remarquant
que
I m −C B
−1
0
I n
A C
0 B
=
A 0
0 B
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
nécessairement au moins r + 1 vecteurs colonnes dans la matrice
A
0
ou au
moins s + 1 vecteurs colonnes dans
0
B
. Dans le premier cas, il y a au moins
r + 1 vecteurs colonnes de A et la famille F est liée car elle contient une famille
liée. Dans le deuxième cas, il y a au moins s + 1 vecteurs colonnes de B et la
famille F est liée.
Finalement rg M = rg A + rg B.
• Deuxième méthode : on se ramène à une matrice triangulaire par blocs.
La matrice A est de rang r , il existe donc P A dans GL m (R) et Q A dans GL n (R)
telles que P A AQ A = J mnr . La matrice B est de rang s, il existe donc P B dans
GL p (R) et Q B dans GL q (R) telles que P B B Q B = J pqs . Soit alors les matrices
P =
P A 0
0 P B
et Q =
Q A 0
0 Q B
. Ces matrices sont inversibles :
P
−1 =
P
−1
A
0
0
P
−1
B
et Q
−1 =
Q
−1
A
0
0
Q
−1
B
, et de plus :
P A 0
0 P B
A 0
0 B
Q A 0
0 Q B
=
J mnr
0
0
J pqs
.
On en déduit que M 1 est équivalente à une matrice de rang r + s. On a donc
rg M 1 = r + s.
2) Là aussi on peut utiliser les deux méthodes précédentes, nous allons vous présenter le travail sur les colonnes.
Pour k ∈ {1, . . . , q}, notons w k le k-ième vecteur colonne de C. On peut refaire
la première partie du raisonnement précédent en notant cette fois V k =
w k
v k
.
On obtient encore rg M r + s = rg A + rg B. L’inégalité peut être stricte il suffit
de prendre A = 0, B = 0 et C = 0.
3) Supposons que B est inversible. On a donc p = q = s. Soit une famille de r +s +1
vecteurs colonnes de M. Comme on peut prendre au plus s vecteurs dans
C
B
,
il y a au moins r + 1 vecteurs de cette famille dans la matrice
A
0
, alors il y a au
moins r + 1 vecteurs dans A et la famille est liée. Finalement rg M = rg A + rg B.
Remarque
On peut aussi se ramener plus directement à la question précédente en remarquant
que
I m −C B
−1
0
I n
A C
0 B
=
A 0
0 B
.
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