Remarque
Soient A et B dans M p,q (K). On dit que A et B sont équivalentes lorsqu’il
existe P dans GL p (K) et Q dans GL q (K) tels que : A = P B Q. La propriété
précédente s’énonce alors : M dans M n, p (K) est de rang r si et seulement si M
est équivalente à J npr .
Exercice 4.20
Soient A dans M mn (R), B dans M pq (R) et C dans M mq (R). On note r le rang
de A et s le rang de B.
1) Montrer que le rang de la matrice M 1 =
A 0
0 B
est égal à r +s = rg A+rg B.
2) Comparer le rang de la matrice M 2 =
A C
0 B
avec r + s.
3) On suppose que B est inversible. Montrer qu’alors le rang de la matrice
M 2 =
A C
0 B
est encore égal à r + s = rg A + rg B.
1) Nous allons donner deux méthodes.
• Première méthode, on travaille sur les colonnes de M 1 .
Pour i ∈ {1, . . . , n}, notons u j le j-ième vecteur colonne de A et U j =
u j
0
le
j-ième vecteur colonne de M 1 . Pour k ∈ {1, . . . , q}, notons v k le k-ième vecteur
colonne de B et V k =
0
v k
le k-ième vecteur colonne de M 1 .
Les vecteurs colonnes de M 1 sont donc U 1 , . . . , U n , V 1 , . . . , V q .
Soit (u j 1 , . . . u j r ) une famille libre extraite de (u 1 , . . . , u n ) et (v k 1 , . . . v k s ) une
famille libre extraite de (v 1 , . . . , v q ).
Montrons que la famille (U j 1 , . . . , U j r , V k 1 , . . . , V k s ) est une famille libre. Si
l’on a
r
k=1
l k U j k +
s
k=1
m k V j k = 0, on obtient
r
k=1
l k U j k = −
s
k=1
m k V j k . En
prenant les p dernières coordonnées, on a alors 0 = −
s
k=1
m k v j k . Par ailleurs,
la famille (v k 1 , . . . v k s ) est libre, il en résulte que les m k sont nuls. On en déduit
alors
r
k=1
l k U j k = 0, d’où
r
k=1
l k u j k = 0. Or, la famille (u j 1 , . . . u j r ) est libre,
les l k sont donc nuls. Ainsi, la famille (U j 1 , . . . , U j r , V k 1 , . . . , V k s ) est libre et par
conséquent rg M r + s = rg A + rg B.