On en déduit que f◦f = (n −2)f+(n −1) Id. On peut encore écrire cette relation
sous la forme f ◦ (f − (n − 2) Id) = (n − 1) Id. L’application f est donc bijective,
d’application réciproque
1
n − 1
(f − (n − 2) Id).
Remarque
Pour déterminer f
−1 on a utilisé un polynôme annulateur de f. On peut aussi
obtenir f
−1 directement en résolvant pour N dans M n (K) donnée, l’équation
(E) tr(M)I n − M = N . Remarquons que pour résoudre (E), il suffit de déterminer
la trace de la matrice M. Pour cela, on commence par appliquer la trace à (E). On
obtient tr(M)n − tr(M) = tr(N ), d’où tr(M) =
tr(N )
n − 1
. On en déduit alors que
M =
tr(N )
n − 1
I n − N .
4.1.9 Matrices par blocs
Ce qu’il faut savoir
Soient (n, p) dans (N
∗ )
2 et (n 1 , n 2 , p 1 , p 2 ) dans (N
∗ )
4 tels que n 1 + n 2 = n et
p 1 + p 2 = p.
• Soient A dans M n 1 , p 1 (K), B dans M n 1 , p 2 (K), C dans M n 2 , p 1 (K) et D dans
M n 2 , p 2 (K). Soit M la matrice de M n, p (K) définie par
M =
A B
C D
,
on dit que M est définie par blocs.
• Soit M 1 et M 2 deux matrices pour lesquelles on dispose d’écriture par blocs de
tailles compatibles pour que tous les produits aient un sens :
M 1 =
A 1 B 1
C 1 D 1
M 2
A 2 B 2
C 2 D 2
Alors on sait donner une écriture par blocs du produit M 1 M 2 et on obtient :
M 1 M 2 =
A 1 A 2 + B 1 C 2 A 1 B 2 + B 1 D 2
C 1 A 2 + D 1 C 2 C 1 B 2 + D 1 D 2
.
• Exemple Soit r un entier tel que r min(n, p), on note J npr la matrice
deM n (K) définie par :
J npr =
I r 0
0 0
.
• Caractérisation du rang à partir des matrices J npr . Soit M dans M n, p (K).
La matrice M est de rang r si et seulement si il existe U dans GL n (K) et V dans
GL p (K) telles que M = U J npr V
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
sous la forme f ◦ (f − (n − 2) Id) = (n − 1) Id. L’application f est donc bijective,
d’application réciproque
1
n − 1
(f − (n − 2) Id).
Remarque
Pour déterminer f
−1 on a utilisé un polynôme annulateur de f. On peut aussi
obtenir f
−1 directement en résolvant pour N dans M n (K) donnée, l’équation
(E) tr(M)I n − M = N . Remarquons que pour résoudre (E), il suffit de déterminer
la trace de la matrice M. Pour cela, on commence par appliquer la trace à (E). On
obtient tr(M)n − tr(M) = tr(N ), d’où tr(M) =
tr(N )
n − 1
. On en déduit alors que
M =
tr(N )
n − 1
I n − N .
4.1.9 Matrices par blocs
Ce qu’il faut savoir
Soient (n, p) dans (N
∗ )
2 et (n 1 , n 2 , p 1 , p 2 ) dans (N
∗ )
4 tels que n 1 + n 2 = n et
p 1 + p 2 = p.
• Soient A dans M n 1 , p 1 (K), B dans M n 1 , p 2 (K), C dans M n 2 , p 1 (K) et D dans
M n 2 , p 2 (K). Soit M la matrice de M n, p (K) définie par
M =
A B
C D
,
on dit que M est définie par blocs.
• Soit M 1 et M 2 deux matrices pour lesquelles on dispose d’écriture par blocs de
tailles compatibles pour que tous les produits aient un sens :
M 1 =
A 1 B 1
C 1 D 1
M 2
A 2 B 2
C 2 D 2
Alors on sait donner une écriture par blocs du produit M 1 M 2 et on obtient :
M 1 M 2 =
A 1 A 2 + B 1 C 2 A 1 B 2 + B 1 D 2
C 1 A 2 + D 1 C 2 C 1 B 2 + D 1 D 2
.
• Exemple Soit r un entier tel que r min(n, p), on note J npr la matrice
deM n (K) définie par :
J npr =
I r 0
0 0
.
• Caractérisation du rang à partir des matrices J npr . Soit M dans M n, p (K).
La matrice M est de rang r si et seulement si il existe U dans GL n (K) et V dans
GL p (K) telles que M = U J npr V
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit