Exercice 4.19
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
1) Montrer que l’ensemble H = {M ∈ M n (K), tr(M) = 0} est un sous-espace
vectoriel de M n (K) et en déterminer la dimension.
2) Donner une base de H .
3) Soit f l’application, qui à toute matrice M de M n (K), associe
f(M) = tr(M)I n − M.
Montrer que f est un endomorphisme de M n (K) et déterminer sa trace.
4) Etablir que f ◦ f = (n − 2)f + (n − 1) Id. En déduire que pour n 2,
l’application f est inversible et déterminer son inverse.
1) La trace est une application linéaire et l’ensemble H est par définition son noyau,
donc H est un sous-espace vectoriel de M n (K). Comme la trace est une forme
linéaire non nulle, le sous-espace vectoriel H est un hyperplan de M n (K), donc
dim H = n
2
− 1.
2) Pour trouver une base de H , il est naturel de commencer par examiner quels sont
les éléments de la base canonique de M n (K) qui sont dans H : ce sont toutes les
E i j à diagonales nulles (c’est-à-dire telles que i = j). On a déjà ainsi une famille
libre de cardinal n
2
− n qui est dans H . On peut compléter cette famille par les
matrices de la forme E 11 − E ii avec i dans [[2, n]]. On obtient alors une famille
B H d’éléments de H qui est libre et de cardinal n
2
− n + n − 1 = n
2
− 1, c’est
donc une base de H .
3) L’application f est à image dans M n (K). La linéarité de la trace entraîne la linéarité de f. Pour calculer la trace de f, on cherche une base adaptée de M n (K).
On constate que si M est dans H , alors f(M) = −M. En particulier pour tout
élément M de B H on a f(M) = −M. Comme I n n’est pas dans H et H est un
hyperplan, la famille B obtenue en complétant B H par I n est une base de M n (K).
On a
M B (f) =
B H
I n
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
−1
0
0
. . .
. . .
B H
0
−1
0
0
. . .
0
n − 1 I n
et on en déduit que tr f = (−1)(n
2
− 1) + n − 1 = n − n
2 .
4) Soit M dans M n (K), on a
f ◦ f(M) = f(tr(M)I n − M) = tr(tr(M)I n − M)I n − (tr(M)I n − M)
= (n − 2) tr(M)I n + M = (n − 2)f(M) + (n − 1)M.
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
1) Montrer que l’ensemble H = {M ∈ M n (K), tr(M) = 0} est un sous-espace
vectoriel de M n (K) et en déterminer la dimension.
2) Donner une base de H .
3) Soit f l’application, qui à toute matrice M de M n (K), associe
f(M) = tr(M)I n − M.
Montrer que f est un endomorphisme de M n (K) et déterminer sa trace.
4) Etablir que f ◦ f = (n − 2)f + (n − 1) Id. En déduire que pour n 2,
l’application f est inversible et déterminer son inverse.
1) La trace est une application linéaire et l’ensemble H est par définition son noyau,
donc H est un sous-espace vectoriel de M n (K). Comme la trace est une forme
linéaire non nulle, le sous-espace vectoriel H est un hyperplan de M n (K), donc
dim H = n
2
− 1.
2) Pour trouver une base de H , il est naturel de commencer par examiner quels sont
les éléments de la base canonique de M n (K) qui sont dans H : ce sont toutes les
E i j à diagonales nulles (c’est-à-dire telles que i = j). On a déjà ainsi une famille
libre de cardinal n
2
− n qui est dans H . On peut compléter cette famille par les
matrices de la forme E 11 − E ii avec i dans [[2, n]]. On obtient alors une famille
B H d’éléments de H qui est libre et de cardinal n
2
− n + n − 1 = n
2
− 1, c’est
donc une base de H .
3) L’application f est à image dans M n (K). La linéarité de la trace entraîne la linéarité de f. Pour calculer la trace de f, on cherche une base adaptée de M n (K).
On constate que si M est dans H , alors f(M) = −M. En particulier pour tout
élément M de B H on a f(M) = −M. Comme I n n’est pas dans H et H est un
hyperplan, la famille B obtenue en complétant B H par I n est une base de M n (K).
On a
M B (f) =
B H
I n
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
−1
0
0
. . .
. . .
B H
0
−1
0
0
. . .
0
n − 1 I n
et on en déduit que tr f = (−1)(n
2
− 1) + n − 1 = n − n
2 .
4) Soit M dans M n (K), on a
f ◦ f(M) = f(tr(M)I n − M) = tr(tr(M)I n − M)I n − (tr(M)I n − M)
= (n − 2) tr(M)I n + M = (n − 2)f(M) + (n − 1)M.