1) tr(aA + bB) = a tr A + b tr B ;
2) tr(AB) = tr(B A) ;
3) tr(
t A) = tr(A) ;
4) pour P dans GL n (K) on a tr(P
−1 AP) = tr(A).
• Trace d’un endomorphisme
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, B une base de E et f un
endomorphisme de E. Le réel tr(M B ( f )) ne dépend pas du choix de la base B :
on l’appelle trace de f est on le note tr( f ).
Exercice 4.18
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n. Déterminer la trace des endomorphismes suivants :
1) une homothétie h de rapport l,
2) un projecteur p,
3) une symétrie s.
1) Soit B une base de E. La matrice de h dans B est lI n . On en déduit que tr(h) = nl.
2) On sait que E = Im p ⊕ Ker p. Soit alors (e 1 , . . . , e r ) une base de Im p et
(e r+1 , . . . , e n ) une base de Ker p. La famille B = (e 1 , . . . , e n ) est une base de
E. Comme pour tout i dans [[1, r ]], on a p(e i ) = e i et pour tout i dans [[r + 1, n]],
p(e i ) = 0 E , la matrice de p est de la forme M B ( p) =
I r 0
0 0
. On en déduit
que tr ( p) = r = rg ( p)
3) On sait que E = Ker(Id E −s) ⊕ Ker(Id E +s). Soit alors (e 1 , . . . , e r ) une
base de Ker(Id E −s) et (e r+1 , . . . , e n ) une base de Ker(Id E +s). La famille
B = (e 1 , . . . , e n ) est une base de E. Comme pour tout i dans [[1, r ]], on a
s(e i ) = e i et pour tout i dans [[r + 1, n]], s(e i ) = −e i , la matrice de p est de la
forme M B ( p) =
I r
0
0 −I n−r
.
On en déduit que tr(s) = dim(Ker(Id E −s)) − dim(Ker(Id E +s)) = 2r − n.
Ce qu’il faut savoir
La trace d’un projecteur est égale à son rang.
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