Chap. 4. Matrices
On constate ainsi que dans la nouvelle base (e
1 , e
2 , e
3 , e
4 ) définie par :
e
1 = e 1 ,
e
2 = e 3 ,
e
3 = e 2 ,
e
4 = e 4 ,
l’endomorphisme c a pour matrice A. Ceci montre que A et C sont semblables.
Exercice 4.16
CCP PSI 2005
Les matrices A =
⎛
⎜
⎜
⎝
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
⎞
⎟
⎟
⎠ et B =
⎛
⎜
⎜
⎝
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
⎞
⎟
⎟
⎠ sont-elles semblables ?
Remarquons que ces deux matrices ont même rang, même trace et même déterminant, ce qui ne permet pas de trancher. Comme A et B sont particulièrement
simples, il est naturel de s’intéresser à leur carré. On constate que A
2
= 0 mais
que B
2 = 0. Or s’il existait P dans GL n (R) telle que A = P
−1 B P, on aurait alors
A
2 = P
−1 B P P
−1 B P = P
−1 B
2 P = 0. Il en résulte que A et B ne sont pas semblables.
Remarque
Plus généralement, on montre que si deux matrices A et B sont semblables, alors
les polynômes P tels que P( A) = 0 vérifient également P(B) = 0.
Exercice 4.17
Soient A dans GL n (K) et B dans M n (K). Montrer que AB et B A sont semblables.
On veut trouver une matrice P dans GL n (K) telle que B A = P
−1 AB P. La matrice
A étant inversible, il est naturel de voir si l’on peut exprimer une telle matrice P au
moyen de A. On constate en fait que P = A convient car A
−1 AB A = B A. On a
ainsi montré que AB et B A sont semblables.
4.1.8 Trace d’une matrice carrée
Ce qu’il faut savoir
Soit A = (a i j ) une matrice de M n (K).
• On appelle trace de A le réel noté tr( A) défini par tr( A) =
n
i=1
a ii .
• Propriétés : soient A et B deux matrices de M n (K) et (a, b) dans K
2 .
On constate ainsi que dans la nouvelle base (e
1 , e
2 , e
3 , e
4 ) définie par :
e
1 = e 1 ,
e
2 = e 3 ,
e
3 = e 2 ,
e
4 = e 4 ,
l’endomorphisme c a pour matrice A. Ceci montre que A et C sont semblables.
Exercice 4.16
CCP PSI 2005
Les matrices A =
⎛
⎜
⎜
⎝
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
⎞
⎟
⎟
⎠ et B =
⎛
⎜
⎜
⎝
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
⎞
⎟
⎟
⎠ sont-elles semblables ?
Remarquons que ces deux matrices ont même rang, même trace et même déterminant, ce qui ne permet pas de trancher. Comme A et B sont particulièrement
simples, il est naturel de s’intéresser à leur carré. On constate que A
2
= 0 mais
que B
2 = 0. Or s’il existait P dans GL n (R) telle que A = P
−1 B P, on aurait alors
A
2 = P
−1 B P P
−1 B P = P
−1 B
2 P = 0. Il en résulte que A et B ne sont pas semblables.
Remarque
Plus généralement, on montre que si deux matrices A et B sont semblables, alors
les polynômes P tels que P( A) = 0 vérifient également P(B) = 0.
Exercice 4.17
Soient A dans GL n (K) et B dans M n (K). Montrer que AB et B A sont semblables.
On veut trouver une matrice P dans GL n (K) telle que B A = P
−1 AB P. La matrice
A étant inversible, il est naturel de voir si l’on peut exprimer une telle matrice P au
moyen de A. On constate en fait que P = A convient car A
−1 AB A = B A. On a
ainsi montré que AB et B A sont semblables.
4.1.8 Trace d’une matrice carrée
Ce qu’il faut savoir
Soit A = (a i j ) une matrice de M n (K).
• On appelle trace de A le réel noté tr( A) défini par tr( A) =
n
i=1
a ii .
• Propriétés : soient A et B deux matrices de M n (K) et (a, b) dans K
2 .