On en déduit que si l = −1, alors le rang de A l est 3, si l = −1, alors le rang de
A l est 4.
4.1.7 Matrices semblables
Ce qu’il faut savoir
Soient A et B dans M n (K).
• On dit que A et B sont semblables lorsqu’il existe P dans GL n (K) tel que
A = P
−1 B P.
• Caractérisation : les matrices A et B dans M n (K) sont semblables si et seulement si il existe un espace vectoriel E de dimension n, deux bases B E et B
E de
E, un endomorphisme f de E tels que A = M B E ( f ) et B = M B E ( f ).
• Propriétés
◦ Si deux matrices sont semblables, alors elles ont même rang, même déterminant
et même trace. La réciproque est fausse.
◦ Si A et B sont semblables, alors pour tout k dans N, les matrices A
k et B
k sont
semblables. Si de plus A est inversible, alors B est inversible et pour tout k dans
Z, les matrices A
k et B
k sont semblables.
Remarque
En pratique, pour montrer que deux matrices ne sont pas semblables, on utilise
la contraposée de l’une de ces implications.
Exercice 4.15
Navale MP 2006
Soient A =
⎛
⎜
⎜
⎝
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
⎞
⎟
⎟
⎠ , B =
⎛
⎜
⎜
⎝
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
⎞
⎟
⎟
⎠ et C =
⎛
⎜
⎜
⎝
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
⎞
⎟
⎟
⎠ .
1) Montrer que A et B ne sont pas semblables.
2) Montrer que A et C sont semblables.
Indication de la rédaction : on cherchera la matrice de l’endomorphisme associé à C dans une nouvelle base obtenue par permutation des vecteurs de la base
canonique.
1) Les matrices A et B n’ont pas même trace, elles ne sont donc pas semblables.
2) Soient c et a les endomorphismes de R
4 de matrices respectives C et A dans la
base canonique (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) de R
4 . On a alors :
c(e 1 ) = 0,
c(e 2 ) = e 1 ,
c(e 3 ) = 0,
c(e 4 ) = e 3 .
a(e 1 ) = 0,
a(e 2 ) = 0,
a(e 3 ) = e 1 ,
a(e 4 ) = e 2 .
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