Chap. 4. Matrices
1) Cherchons l’image par f = u − v des vecteurs de B = (1, X , . . . , X
n ) la base
canonique de R n [X ]. Soit k dans [[1, n]], on a
f (X
k ) = (X + 1)
k
− (X − 1)
k =
k
i=0
k
i
(1 − (−1)
i )X
k−i .
On constate en particulier que, pour i ∈ [[1, n]] et j i on a a i j = 0 et pour
i ∈ [[1, n − 1]] on a a ii+1 = 2i. On en déduit que la matrice de f dans la base
canonique est de la forme :
M B ( f ) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 2 a 1,3 a 1,4 . . . a 1,n+1
0 0
4 a 2,4
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . a n−1,n+1
. . .
. . .
2n
0 · · ·
· · ·
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
On en déduit que le rang de f est n.
2) On peut étudier le noyau de f puis utiliser le théorème du rang. Soit P un polynôme tel que f (P) = 0. Alors pour tout x dans R, on a P(x + 1) = P(x − 1), ou
encore, pour tout x dans R, on a P(x + 2) = P(x). Le polynôme P est donc pérodique de période 2. On montre alors que P est constant (il est de degré inférieur ou
égal à n et il prend n + 1 fois la valeur P(0)). On en déduit que Ker(P) = Vect(1),
le théorème du rang montre alors que rg ( f ) = n + 1 − 1 = n.
Exercice 4.14
Étudier en fonction de l dans R le rang de la matrice A l =
⎛
⎜
⎜
⎝
1
1 1
1
1 −1 1 −1
−1 −1 1
1
−1
1 l −l
⎞
⎟
⎟
⎠ .
On ne modifie pas le rang d’une matrice en ajoutant à l’une de ses colonnes une
combinaison linéaire des autres colonnes. On essaie ainsi par manipulations sur les
colonnes de transformer A l en une matrice triangulaire. On effectue successivement
les opérations : c 4 ← c 4 − c 2 , puis c 3 ← c 3 − c 1 et enfin c 2 ← c 2 − c 1 ; on a alors
obtenu une matrice dont les deux premières lignes ont la forme souhaitée ; l’opération
c 4 ← c 4 − c 3 permet d’obtenir ensuite une matrice triangulaire inférieure :
rg ( A l ) = rg
c 1 c 2 − c 1 c 3 − c 1 c 4 − c 2
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
1
0
0
0
1
−2
0
0
−1
0
2
2
−1
2
l + 1
−l − 1
= rg
c 1
c 2
c 3
c 4 − c 3
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
1
0
0
0
1 −2
0
0
−1 0
2
0
−1 2 l + 1 −2l − 2
.
1) Cherchons l’image par f = u − v des vecteurs de B = (1, X , . . . , X
n ) la base
canonique de R n [X ]. Soit k dans [[1, n]], on a
f (X
k ) = (X + 1)
k
− (X − 1)
k =
k
i=0
k
i
(1 − (−1)
i )X
k−i .
On constate en particulier que, pour i ∈ [[1, n]] et j i on a a i j = 0 et pour
i ∈ [[1, n − 1]] on a a ii+1 = 2i. On en déduit que la matrice de f dans la base
canonique est de la forme :
M B ( f ) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 2 a 1,3 a 1,4 . . . a 1,n+1
0 0
4 a 2,4
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . a n−1,n+1
. . .
. . .
2n
0 · · ·
· · ·
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
On en déduit que le rang de f est n.
2) On peut étudier le noyau de f puis utiliser le théorème du rang. Soit P un polynôme tel que f (P) = 0. Alors pour tout x dans R, on a P(x + 1) = P(x − 1), ou
encore, pour tout x dans R, on a P(x + 2) = P(x). Le polynôme P est donc pérodique de période 2. On montre alors que P est constant (il est de degré inférieur ou
égal à n et il prend n + 1 fois la valeur P(0)). On en déduit que Ker(P) = Vect(1),
le théorème du rang montre alors que rg ( f ) = n + 1 − 1 = n.
Exercice 4.14
Étudier en fonction de l dans R le rang de la matrice A l =
⎛
⎜
⎜
⎝
1
1 1
1
1 −1 1 −1
−1 −1 1
1
−1
1 l −l
⎞
⎟
⎟
⎠ .
On ne modifie pas le rang d’une matrice en ajoutant à l’une de ses colonnes une
combinaison linéaire des autres colonnes. On essaie ainsi par manipulations sur les
colonnes de transformer A l en une matrice triangulaire. On effectue successivement
les opérations : c 4 ← c 4 − c 2 , puis c 3 ← c 3 − c 1 et enfin c 2 ← c 2 − c 1 ; on a alors
obtenu une matrice dont les deux premières lignes ont la forme souhaitée ; l’opération
c 4 ← c 4 − c 3 permet d’obtenir ensuite une matrice triangulaire inférieure :
rg ( A l ) = rg
c 1 c 2 − c 1 c 3 − c 1 c 4 − c 2
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
1
0
0
0
1
−2
0
0
−1
0
2
2
−1
2
l + 1
−l − 1
= rg
c 1
c 2
c 3
c 4 − c 3
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
1
0
0
0
1 −2
0
0
−1 0
2
0
−1 2 l + 1 −2l − 2
.