Soit (e
1 , e
2 ) une base de H et e
3 un vecteur directeur de D. La relation H ⊕ D = E
assure que (e
1 , e
2 , e
3 ) est une base de E. Par ailleurs la matrice M
de p dans cette
nouvelle base est donnée par : M
=
⎛
⎝
1 0 0
0 1 0
0 0 0
⎞
⎠ .
On sait également que, en notant P la matrice de passage de (e 1 , e 2 , e 3 ) à (e
1 , e
2 , e
3 )
que l’on a : M
= P
−1 M P.
En choisissant par exemple e
1 = e 1 − e 3 , e
2 = e 2 − e 3 et e
3 = e 1 + 2e 2 + 3e 3 , on
obtient :
P =
⎛
⎝
1
0 1
0
1 2
−1 −1 3
⎞
⎠
P
−1 =
1
6
⎛
⎝
5 −1 −1
−2
4 −2
1
1
1
⎞
⎠ .
On en déduit M = P M
P
−1 =
1
6
⎛
⎝
5 −1 −1
−2
4 −2
−3 −3
3
⎞
⎠ .
Remarque
Pour déterminer la matrice de P, on aurait pu procéder comme dans l’exercice
3.13, page 62.
4.1.6 Rang d’une matrice
Ce qu’il faut savoir
Soient (n, p) dans N
2 et M dans M n, p (R).
• On appelle rang de M le rang de la famille de ses vecteurs colonnes.
• Soit E un K-espace vectoriel de dimension n de base B E et F un K-espace
vectoriel de dimension p de base B F . Si u est une application linéaire de E
vers F telle que M = M B E ,B F (u), alors on a rg (u) = rg (M).
• On a rg (M) = rg (
t
M). c’est-à-dire que le rang de M est aussi le rang de la
famille de ses vecteurs lignes
• Si P ∈ GL n (K), alors rg (P M) = rg (M). Si Q ∈ GL p (K), alors rg (M Q) = rg (M).
Exercice 4.13
CCP MP 2006 et 2007
Soit n dans N
∗ , soient u et v les aplications linéaires définies sur R n [X ] par
∀P ∈ R n [X ] , u(P) = P(X + 1) et v(P) = P(X − 1).
1) Déterminer le rang de f = u − v à partir de sa matrice.
2) Retrouver ce résultat par une autre méthode.
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