Chap. 4. Matrices
On en déduit :
∀(i , j) ∈ [[1, n + 1]]
2 , a i j =
⎧
⎨
⎩
n + 1 − j
i − j
(−1)
i− j
pour j i n + 1,
0
pour 1 i j − 1
.
• Déterminons la matrice de passage de la base B
à la base B. Pour cela exprimons chaque X
j en fonction des vecteurs de la base B
. On déduit de la relation
1 = X +(1 − X ), que pour tout p entier on a 1
p =
p
k=0
p
k
X
k (1 − X )
p−k . D’où :
X
n− p =
p
k=0
p
k
X
n− p+k (1 − X )
p−k =
p
k=0
p
k
P n− p+k (X )
=
n
i=n− p
p
i + p − n
P i (X ) (i = n − p + k).
On en déduit que pour tout j dans [[0, n]], X
j =
n
i= j
n − j
i − j
P i (X ). En notant
b i j le coefficient général de la matrice de passage de B
vers B, on a
∀(i, j) ∈ [[1, n + 1]]
2 , b i j =
⎧
⎨
⎩
n + 1 − j
i − j
pour j i n + 1
0
pour 1 i j − 1
.
Exercice 4.12
TPE PC 2005, CCP MP 2006
Soit E un C-espace vectoriel de dimension 3 et soit (e 1 , e 2 , e 3 ) une base de E.
Soient H le plan d’équation x + y + z = 0 et D la droite x = y/2 = z/3.
1) Montrer que H ⊕ D = E.
2) Trouver la matrice de la projection sur H parallèlement à D.
1) Un vecteur xe 1 + ye 2 + ze 3 appartient à H ∩ D si et seulement si ses coordonnées
x, y et z sont solution du système linéaire :
⎧
⎨
⎩
x + y + z = 0
2x = y
3x = z.
. Il en résulte que
H ∩ D = {0 E }. En outre, dim H + dim D = dim E, d’où H ⊕ D = E.
2) Notons p le projecteur sur H parallèlement à D et M sa matrice dans la base
(e 1 , e 2 , e 3 ).