• Formules de changement de bases
On note P la matrice de passage de la base B = (e 1 , . . . , e n ) à la base
B
= (e
1 , . . . , e
n ).
◦ Soit x dans E. Il existe (x 1 , . . . , x n ) dans K
n tel que x =
n
i=1
x i e i et (x
1 , . . . , x
n )
dans K
n tel que x =
n
i=1
x
i e
i . Soit X =
t (x 1 , . . . , x n ) et soit X
=
t (x
1 , . . . , x
n ).
On a alors X = P X
.
◦ Soit f un endomorphisme de E, de matrice M dans la base B, et de matrice M
dans la base B
. On a M
= P
−1 M P.
Exercice 4.11
Centrale PC 2006
Soit n dans N
∗ . Soit E = R n [X ].
On note B
= (P k ) 0kn , où P k = X
k (1 − X )
n−k .
1) Montrer que B
est une base de E.
2) Donner les matrices de passages de la base canonique vers B
et de B
vers la
base canonique.
Indication de l’examinateur : on remarquera que 1 = X + (1 − X ).
1) Montrons que la famille B
est libre. Soit (a 0 , . . . , a n ) dans R
n tel que
n
k=0
a k P k = 0.
(∗)
Remarquons que pour tout k dans [[1, n]], le réel 0 est racine d’ordre k de P k alors
qu’il n’est pas racine de P 0 . En évaluant l’égalité (∗) en 0, on obtient donc a 0 = 0.
En dérivant (∗) puis en évaluant à nouveau en 0, on obtient cette fois a 1 = 0. En
réitérant ce procédé, on obtient que, pour tout k dans [[0, n]], a k est nul. La famille
B
est libre et de cardinal égal à la dimension de E, c’est donc une base de E.
2) • Notons A = (a i j ) 1i, jn+1 , la matrice de passage
2 de la base canonique B à
la base B
= (P 0 , . . . , P n ). Pour tout k dans [[0, n]], on obtient sans difficulté les
coordonnées du polynôme P k dans la base canonique de R n [X ]. En effet, on a
pour tout j dans [[1, n]] :
P j (X ) = X
j (1 − X )
n− j =
n− j
i=0
n − j
i
(−1)
i X
i+ j =
n
i= j
n − j
i − j
(−1)
i− j X
i .
2. Attention au décalage d’indice : aij est le coefficient de Pj−1 sur X
i−1
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
On note P la matrice de passage de la base B = (e 1 , . . . , e n ) à la base
B
= (e
1 , . . . , e
n ).
◦ Soit x dans E. Il existe (x 1 , . . . , x n ) dans K
n tel que x =
n
i=1
x i e i et (x
1 , . . . , x
n )
dans K
n tel que x =
n
i=1
x
i e
i . Soit X =
t (x 1 , . . . , x n ) et soit X
=
t (x
1 , . . . , x
n ).
On a alors X = P X
.
◦ Soit f un endomorphisme de E, de matrice M dans la base B, et de matrice M
dans la base B
. On a M
= P
−1 M P.
Exercice 4.11
Centrale PC 2006
Soit n dans N
∗ . Soit E = R n [X ].
On note B
= (P k ) 0kn , où P k = X
k (1 − X )
n−k .
1) Montrer que B
est une base de E.
2) Donner les matrices de passages de la base canonique vers B
et de B
vers la
base canonique.
Indication de l’examinateur : on remarquera que 1 = X + (1 − X ).
1) Montrons que la famille B
est libre. Soit (a 0 , . . . , a n ) dans R
n tel que
n
k=0
a k P k = 0.
(∗)
Remarquons que pour tout k dans [[1, n]], le réel 0 est racine d’ordre k de P k alors
qu’il n’est pas racine de P 0 . En évaluant l’égalité (∗) en 0, on obtient donc a 0 = 0.
En dérivant (∗) puis en évaluant à nouveau en 0, on obtient cette fois a 1 = 0. En
réitérant ce procédé, on obtient que, pour tout k dans [[0, n]], a k est nul. La famille
B
est libre et de cardinal égal à la dimension de E, c’est donc une base de E.
2) • Notons A = (a i j ) 1i, jn+1 , la matrice de passage
2 de la base canonique B à
la base B
= (P 0 , . . . , P n ). Pour tout k dans [[0, n]], on obtient sans difficulté les
coordonnées du polynôme P k dans la base canonique de R n [X ]. En effet, on a
pour tout j dans [[1, n]] :
P j (X ) = X
j (1 − X )
n− j =
n− j
i=0
n − j
i
(−1)
i X
i+ j =
n
i= j
n − j
i − j
(−1)
i− j X
i .
2. Attention au décalage d’indice : aij est le coefficient de Pj−1 sur X
i−1
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit