Exercice 4.10
Soit n dans N
∗ . Soit M dans M n+1 (R) définie par
M =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
1
1
· · ·
1
0
1
1
2
1
· · ·
n
1
. . .
. . .
2
2
· · ·
2
n
. . .
. . .
. . .
. . .
0 · · ·
· · ·
0
n
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Montrer que M est inversible et donner son inverse.
Cette matrice est triangulaire supérieure et aucun de ses coefficients diagonaux n’est
nul, elle est donc de rang n + 1 et par conséquent elle est inversible. La matrice se
prête mal à des manipulations sur les lignes. Les coefficients binomiaux font penser
à la formule du binôme de Newton et on va interpréter M comme la matrice de
l’application linéaire f de R n+1 [X ] dans lui-même qui à P associe f (P) = P(X +1).
On constate qu’en notant B = (1, X , . . . , X
n ) la base canonique de R n+1 [X ], on a
M = M B ( f ). L’application linéaire f est bijective puisque M et inversible et sa
réciproque g est l’application linéaire qui à P dans R n+1 [X ] associe le polynôme
P(X − 1). On a donc M
−1 = M B (g). On obtient :
M
−1 =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 −1
1
· · ·
(−1)
n
0
1
1
−
2
1
· · · (−1)
n−1
n
1
. . .
. . .
2
2
· · · (−1)
n−2
2
n
. . .
. . .
. . .
. . .
0 · · ·
· · ·
0
n
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
4.1.5 Matrices de passage
Ce qu’il faut savoir
Soient n dans N
∗ et E un K-espace vectoriel de dimension n. Soient B et B
deux
bases de E.
• La matrice de passage de la base B à la base B
est la matrice P de la famille B
dans la base B : sa j-ème colonne est constituée des coordonnées dans la base B
du j-ème vecteur de la base B
.
• La matrice de passage de la base B à la base B
est égale à la matrice M B ,B (Id E ).