1) Il existe p dans N tel que N
p = 0. On a ainsi (I n − N )
p−1
i=0
N
i
= I n −N
p = I n .
La matrice I n − N est donc inversible et a pour matrice inverse
p−1
i=0
N
i . Si N est
nilpotente alors −N est également nipotente de même indice de nilpotence et
donc I n + N est inversible et a pour matrice inverse
n−1
i=0
(−1)
i N
i .
2) On peut expliciter la matrice I n + A et l’inverser par des manipulations sur les
lignes. On peut aussi utiliser le résultat précédent en remarquant que la matrice
A est nilpotente d’indice de nilpotence n. De plus, on calcule sans difficulté ses
puissances : pour k dans [[1, n − 1]], tous les coefficients (a i j ) de A sont nuls sauf
ceux dont les indices vérifient j − i = k qui sont égaux à 1. En d’autres termes,
pour k dans [[1, n − 1]] :
A
k =
k + 1-ème
colonne
↓
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
0 · · · 0
1
0 · · · 0
0
1
. . .
. . .
. . .
. . . 0
. . .
0 1←− (n − k)-ième ligne
0
. . .
0
· · ·
0
On en déduit que I n + A est inversible et a pour matrice inverse
n−1
i=0
(−1)
i A
i . Ce
qui, de façon plus explicite, donne :
(I n + A)
−1 =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 −1
1 · · · (−1)
n−1
0
1
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
1
0
. . . 1
−1
0
0 · · · 0
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
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