Chap. 4. Matrices
(I n − A)(I n − B), on obtient (I n − A)(I n − B) = I n − A − B + AB = I n . La matrice
I n − A est donc inversible et son inverse est I n − B.
Remarque
L’inverse à gauche de I n − A étant aussi son inverse à droite, on peut déduire du
résultat précédent que (I n − B)(I n − A) = I n . En développant le terme de gauche
on obtient A + B = B A, ce qui reporté dans la relation de départ montre que
AB = B A. On a ainsi montré que A + B = AB entraîne que A et B commutent.
Exercice 4.8
Montrer que A =
⎛
⎜
⎜
⎝
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
⎞
⎟
⎟
⎠ est inversible et calculer son inverse.
On va chercher un polynôme annulateur de A. On calcule A
2 et on obtient :
A
2 =
⎛
⎜
⎜
⎝
3 2 2 2
2 3 2 2
2 2 3 2
2 2 2 3
⎞
⎟
⎟
⎠ .
On constate alors que A
2 = 2 A + 3I 4 . On déduit de cette égalité la relation
A
1
3
( A − 2I 4 )
= I 4 . Ceci montre que A est inversible et que
A
−1 =
1
3
⎛
⎜
⎜
⎝
−2
1
1
1
1 −2
1
1
1
1 −2
1
1
1
1 −2
⎞
⎟
⎟
⎠ .
Exercice 4.9
Soit n dans N
∗ .
1) Soit N une matrice nilpotente dans M n (K). Montrer que les matrices I n − N
et I n + N sont inversibles.
2) On note A la matrice définie par A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 1 0 · · · 0
0 0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
0 1
0
· · ·
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
. Montrer que
I n + A est inversible et déterminer son inverse.