Différentes caractérisations de l’inversibilité d’une matrice
carrée
Soit A dans M n (K). La matrice A est inversible si et seulement si l’une des
propriétés suivantes est vérifiée :
• il existe B dans M n (K) telle que B A = I n ;
• il existe B dans M n (K) telle que AB = I n ;
• le noyau de A est réduit à 0, c’est-à-dire la seule solution de l’équation AX = 0
pour X dans M n,1 (K), est la matrice colonne X = 0 ;
• elle est la matrice dans une certaine base d’un endomorphisme bijectif ;
• son rang est égal à n ;
• son déterminant est non nul (voir chapitre « Déterminants »).
Quelques méthodes pour déterminer l’éventuel inverse d’une
matrice A
• Exhiber une matrice B dans M n (K) telle que AB = I n ou B A = I n .
• Rechercher un polynôme P tel que P(A) = 0 et P(0) = 0. En effet, soit
P(X ) = a 0 + a 1 X + · · · + a k X
k un tel polynôme, alors
−a 0 I n = a 1 A + · · · + a k A
k = A(a 1 I n + · · · + a k A
k−1 ),
et par conséquent A est inversible et A
−1 =
−1
a 0
(a 1 I n + · · · + a k A
k−1 ).
• Résoudre le système linéaire AX = Y , on obtient alors X = A
−1 Y (Voir
chapitre « Equations linéaires ») ;
• Calculer la transposée de la comatrice
1 .
Remarque
Les méthodes de détermination permettent en général d’assurer l’inversibilité.
Exercice 4.7
Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n telles que A + B = AB. Montrer
que I n − A est inversible.
En l’absence d’indications supplémentaires sur A et B on ne peut qu’essayer de deviner l’éventuel inverse de I n − A. Remarquons que la relation proposée est symétrique
en A et B, la matrice I n − B doit elle aussi être inversible. En effectuant le produit
1. En dehors des cas n = 2 et n = 3, cette dernière méthode, donnant lieu en général à des calculs très
lourds, doit être considérée comme théorique.
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