Chap. 4. Matrices
En additionnant toutes ces équations, on trouve 2x 4 = 0. On en déduit que
x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = 0 ce qui montre que Ker f = {0 E }. le théorème du
rang montre ensuite que Im f = R 3 [X ].
Remarque
On peut aussi calculer le déterminant de M B ( f ) et constater qu’il n’est pas nul
(il vaut 2).
Exercice 4.6
Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3 et f dans L(E) tel que f
3 = 0 et
f
2
= 0. Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est
⎛
⎝
0 1 0
0 0 1
0 0 0
⎞
⎠ .
Il existe un vecteur x 0 dans E tel que f
2 (x 0 ) = 0. Soit B = ( f
2 (x 0 ), f (x 0 ), x 0 ).
Montrons que cette famille est libre.
Soit (a, b, g) dans R
3 tel que ax 0 + b f (x 0 ) + g f
2 (x 0 ) = 0. En appliquant f
2 à cette
relation, compte tenu du fait que f
3 = 0, on obtient a f
2 (x 0 ) = 0. On en déduit
a = 0. En appliquant cette fois f à la relation b f (x 0 ) + g f
2 (x 0 ) = 0 on obtient
b = 0, et finalement g = 0. La famille B est libre et de cardinal 3 dans un espace de
dimension 3, c’est donc une base de E. Dans cette base la matrice de f est
f
3 (x) f
2 (x) f (x)
0
1
0
f
2 (x)
0
0
1
f (x)
0
0
0
x
.
4.1.4 Matrices inversibles et calcul de l’inverse
Ce qu’il faut savoir
Soit A dans M n (K) une matrice carrée.
• On dit que A est inversible lorsqu’il existe une matrice B dans M n (K) telle que
AB = B A = I n .
Dans ce cas B est unique et on l’appelle l’inverse de A et on la note A
−1 .
Notation On note GL n (K) l’ensemble des matrices carrées d’ordre n et inversibles.
• Soit (A, B) ∈ GL n (K)
2 , la matrice AB est inversible et (AB)
−1 = B
−1 A
−1 .
• Si A dans M n (K) est inversible, alors pour tout k dans N
∗ , la matrice A
k est
inversible et (A
k )
−1 = ( A
−1 )
k , la matrice
t A est inversible et (
t A)
−1 =
t (A
−1 ).
En additionnant toutes ces équations, on trouve 2x 4 = 0. On en déduit que
x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = 0 ce qui montre que Ker f = {0 E }. le théorème du
rang montre ensuite que Im f = R 3 [X ].
Remarque
On peut aussi calculer le déterminant de M B ( f ) et constater qu’il n’est pas nul
(il vaut 2).
Exercice 4.6
Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3 et f dans L(E) tel que f
3 = 0 et
f
2
= 0. Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est
⎛
⎝
0 1 0
0 0 1
0 0 0
⎞
⎠ .
Il existe un vecteur x 0 dans E tel que f
2 (x 0 ) = 0. Soit B = ( f
2 (x 0 ), f (x 0 ), x 0 ).
Montrons que cette famille est libre.
Soit (a, b, g) dans R
3 tel que ax 0 + b f (x 0 ) + g f
2 (x 0 ) = 0. En appliquant f
2 à cette
relation, compte tenu du fait que f
3 = 0, on obtient a f
2 (x 0 ) = 0. On en déduit
a = 0. En appliquant cette fois f à la relation b f (x 0 ) + g f
2 (x 0 ) = 0 on obtient
b = 0, et finalement g = 0. La famille B est libre et de cardinal 3 dans un espace de
dimension 3, c’est donc une base de E. Dans cette base la matrice de f est
f
3 (x) f
2 (x) f (x)
0
1
0
f
2 (x)
0
0
1
f (x)
0
0
0
x
.
4.1.4 Matrices inversibles et calcul de l’inverse
Ce qu’il faut savoir
Soit A dans M n (K) une matrice carrée.
• On dit que A est inversible lorsqu’il existe une matrice B dans M n (K) telle que
AB = B A = I n .
Dans ce cas B est unique et on l’appelle l’inverse de A et on la note A
−1 .
Notation On note GL n (K) l’ensemble des matrices carrées d’ordre n et inversibles.
• Soit (A, B) ∈ GL n (K)
2 , la matrice AB est inversible et (AB)
−1 = B
−1 A
−1 .
• Si A dans M n (K) est inversible, alors pour tout k dans N
∗ , la matrice A
k est
inversible et (A
k )
−1 = ( A
−1 )
k , la matrice
t A est inversible et (
t A)
−1 =
t (A
−1 ).