on a
M B E (g ◦ f ) = M B E (g) × M B E ( f ).
Application linéaire canoniquement associé à une matrice Soit A une
matrice de M p,n (K). On appelle application linéaire canoniquement associé à
A, l’application linéaire f de K
n vers K
p qui, à tout X ∈ K
n , considéré comme
vecteur colonne, associe AX.
Exercice 4.5
D’après Centrale PC 2006
Soient A = X
4 + 1 et B = X
4 + X , soit f l’application qui à P dans R 3 [X ]
associe le reste de la division euclidienne de AP par B.
1) Montrer que f est linéaire
2) Donner la matrice de f dans la base canonique.
3) Déterminer l’image et le noyau de f .
1) Soient P 1 et P 2 dans R 3 [X ]. Soient a et b dans R. Soit R 1 et Q 1 respectivement le reste et le quotient de la division euclidienne de AP 1 par B. Soit
R 2 et Q 2 respectivement le reste et le quotient de la division euclidienne de
AP 2 par B. On a A(aP 1 + bP 2 ) = (Q 1 + Q 2 )(aP 1 + bP 2 ) + aR 1 + bR 2 .
Comme deg(aR 1 + bR 2 ) min(deg(R 1 ), deg(R 2 )), on a deg(aR 1 + bR 2 ) < 4,
ce qui par unicité du reste de la division euclidienne montre que aR 1 + bR 2
est le reste de la division euclidienne de A(aP 1 + bP 2 ) par B. On a donc
f (aP 1 + bP 2 ) = aR 1 + bR 2 = a f (P 1 ) + b f (P 2 ). On a ainsi montré que f est
linéaire.
2) On calcule les images par f des vecteurs de la base canonique B = (1, X , X
2 , X
3 )
de R 3 [X ]. À partir des divisions euclidiennes : (X
4 + 1) = (X
4 + X ) + (−X + 1),
X (X
4 + 1) = X (X
4 + X ) + (−X
2 + X ), X
2 (X
4 + 1) = X
2 (X
4 + X ) + (−X
3 + X
2 ),
X
3 (X
4 +1) = (X
3
−1)(X
4 +X )+(X
3 +X ), on obtient f (1) = 1−X , f (X ) = X −X
2 ,
f (X
2 ) = X
2
− X
3 , f (X
3 ) = X
3 + X . On en déduit :
M B ( f ) =
⎛
⎜
⎜
⎝
1
0
0 1
−1
1
0 0
0 −1
1 0
0
0 −1 1
⎞
⎟
⎟
⎠ .
3) Soit (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) dans R
4 . Le vecteur (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) est dans le noyau de f si et
seulement si (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) est solution du système linéaire :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x 1 + x 4 = 0
−x 1 + x 2 = 0
−x 2 + x 3 = 0
−x 3 + x 4 = 0
.
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